পেল সমীকরণ

পেল সমীকরণ হলো নিম্নোক্ত বিশিষ্ট ডায়োফন্টাইন সমীকরণ,

Pell's equation for n = 2 and six of its integer solutions

${\textstyle \,x^{2}-Dy^{2}=1}$, যেখানে ${\displaystyle \,D}$ পূর্ণবর্গ নয় এমন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় এই সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। জোসেফ লুইস ল্যাগ্রাঞ্জ প্রমাণ করেন যে, D যদি পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হয় তাহলে পেল সমীকরণের অসীম সংখ্যক ভিন্ন পূর্ণসাংখ্যিক সমাধান থাকবে। এই সমাধানগুলো দিয়ে যথাযথভাবে D এর বর্গমূল অনুমান করা সম্ভব।

এই সমীকরণ নিয়ে সর্বপ্রথম চর্চা করেন ভারতীয় গণিতবিদ ব্রহ্মগুপ্ত। তিনি পেল সমীকরণ সমাধানের একটি পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন যার নাম রাখেন "চক্রবালা পদ্ধতি"। এই পদ্ধতি তিনি তার রচিত "ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত" বইয়ে উল্লেখ করেন ৬২৮ খ্রিষ্টাব্দে অর্থাৎ পেলের প্রায় এক হাজার বছর পূর্বে।

পরবর্তীতে জন পেলের(১৬১০-১৬৮৫) নামানুসারে এই সমীকরণের নামকরণ করা হয়েছে।

ইতিহাস

৪০০ খ্রীস্টপূর্বাব্দে ভারত এবং গ্রিসে এই পেল সমীকরণ এর চর্চা ছিল। তারা মূলত

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1\,}$

এই সমীকরণে বেশি নিযুক্ত ছিলেন কারণ এর থেকে ২ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান বের করা যায়। যদি x ও y এর সমাধান হয় তাহলে x/y √2 এর আসন্ন মান হবে। যেমন বৌধায়ন বের করেন যে x = ১৭, y = ১২ ও x = ৫৭৭, y =৪০৮ এই সমীকরণের সমাধান তাই ১৭/১২ ও ৫৭৭/৪০৮ ২ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান।

পরে আর্কিমিডিস ৩ এর বর্গমূল এর আসন্ন মান ১৩৫১/৭৮০ বের করেন।

ডায়োফ্যান্টাস ২৫০ খ্রীঃ

${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$ বিবেচনা করেন যা পেল সমীকরণ এর সমতুল্য।

এবং ব্রহ্মগুপ্ত একটি অভেদ বের করেন

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}=(x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}}$

যা ব্রহ্মগুপ্তের অভেদ নামে পরিচিত। এর থেকে তিনি ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$ এই সমীকরণের ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ আর ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$ দুটি সমাধান থেকে তৃতীয় সমাধান :${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2})}$ and ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).}$ বের করেন।

১১৫০ খ্রীঃ প্রথম পেল সমীকরণের সাধারণ পদ্ধতি বের করেন দ্বিতীয় ভাস্কর। তার পদ্ধতির নাম চক্রবাল পদ্ধতি। এতে ${\displaystyle (a,b,k)}$ একটি ট্রিপলেট এবং সাধারণ ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$ ট্রিপলেট থেকে ${\displaystyle (am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N))}$ নতুন ট্রিপলেট বের করেন যা থেকে তিনি স্কেল ডাউন করে নতুন ট্রিপলেট

${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}}\,,\,{\frac {a+bm}{k}}\,,\,{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$ বের করেন।

সমাধান

প্রাথমিক সমাধান

যদি ${\displaystyle {\tfrac {h_{i}}{k_{i}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ এর আবৃত ভগ্নাংশ এর অভিসারীসমূহের ধারা (sequence of convergents) হয়, তাহলে কোনো i এর জন্য x₁ = h_i এবং y₁ = k_i অর্থাৎ (x₁,y₁) পেল সমীকরণটির একটি সমাধান হবে। একে প্রাথমিক সমাধান(fundamental solution) বলে।

প্রাথমিক সমাধান থেকে অপর সমাধান

একটি প্রাথমিক সমাধান থেকে অপর সমাধানে আসা যায়। যেমন- বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k}.}$

এবং পুনরাবৃত্তি/পৌনপুনিক সম্বন্ধ (recurrence relation) দিয়ে

${\displaystyle \displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$

${\displaystyle \displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$

বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে অনেক সময়ে আরো সহজে লেখা যায়

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}}$

উদাহরণ

যেমন n = 7 এর জন্য অর্থাৎ

h / k (Convergent)	h2 −7k2 (Pell-type approximation)
2 / 1	−3
3 / 1	+2
5 / 2	−3
8 / 3	+1

${\displaystyle \displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$এর জন্য

সুতরাং (8, 3) এখানে প্রাথমিক সমাধান।

বহিঃসংযোগ

• https://sites.google.com/site/tpiezas/008 ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ১৫ মার্চ ২০১৪ তারিখে