অন্তরকলন বিধি

এগুলো পৃথকীকরণের বিধিগুলোর একটি সংক্ষিপ্তসার। অর্থাৎ ক্যালকুলাসের যেকোন ক্রমের ডেরিভেটিভ গণনা করার নিয়ম।

অন্তরকলনযোগ্য ফাংশন

সাধারণ নিয়ম

• যদি f(x) একটি ধ্রুবক হয় , তাহলে

${\displaystyle f'=0.\,}$

• যোগের নিয়ম

${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}$ α ও β বাস্তব সংখ্যা

• গুণের নিয়ম

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$

• ভাগের নিয়ম

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$ ;g ≠ 0

• চেইন নিয়ম

যদি ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ হয় তবে

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}$

সূত্র

মূলদ অপেক্ষকের সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}c=0}$

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

${\displaystyle {d \over dx}(cx)=c}$

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$ যেখানে ${\displaystyle x^{n}}$ ও ${\displaystyle nx^{n-1}}$ সংজ্ঞায়িত

সূচকীয় সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}c^{x}={c^{x}\ln c},\qquad c>0}$

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

লগ্যারিদমিক সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},\qquad x>0}$]

ত্রিকোণামিতিক সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x}$

${\displaystyle {d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}}$

${\displaystyle {d \over dx}\sec x=\tan x\sec x}$

${\displaystyle {d \over dx}\sec x=-\sec x\cot x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\sec ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}}$

বিপরীত ত্রিকোণামিতিক সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}}$

হাইপারবোলিক সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$

বিপরীত হাইপারবোলিক সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arctanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsech} \,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$

${\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arccsch} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

বিবিধ সূত্র

${\displaystyle {d \over dx}f(cx)=cf'(cx)}$

${\displaystyle {d \over dx}|x|={|x| \over x}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle {d \over dx}(f^{-1}(x))={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}$ চেইন নিয়ম থেকে যা প্রমাণ করা যায়।

বিশেষ অন্তরজ ফাংশন

গামা ফাংশন ${\displaystyle \quad \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$ ${\displaystyle \Gamma '(x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt}$ ${\displaystyle \,=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle \,=\Gamma (x)\psi (x)}$ with ${\displaystyle \psi (x)}$

রাইমান যেটা (Zeta)ফাংশন ${\displaystyle \quad \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$ ${\displaystyle \zeta '(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \!}$ ${\displaystyle \,=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\!}$

আরও দেখুন

• অন্তরকলন
• সমাকলন সূচী