ক্ষুদ্র-কোণ অনুমান

ত্রিকোণমিতিতে ক্ষুদ্র-কোণ অনুমান (ইংরেজি: Small angle approximation) হল একটি পদ্ধতি যার সাহায্যে কোনো ছোট মানে, কোণের সাপেক্ষে ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকগুলির মান অনুমান করা যায়, যেখানে কোণের মান রেডিয়ান এককে।

কিছু স্থানে কিছু ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের মানের সঙ্গে কোণের মান প্রায় একই, যখন x → 0

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}}$

বলবিজ্ঞান, তড়িৎচুম্বকত্ব, আলোকবিজ্ঞান, কার্টোগ্রাফি, জ্যোতির্বিদ্যা এবং কম্পিউটার বিজ্ঞান সহ পদার্থবিদ্যা এবং প্রকৌশল শাখায় এই অনুমানগুলির বিস্তৃত পরিসর রয়েছে। এর একটি কারণ হল যে তারা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে ব্যাপকভাবে সরল করতে পারে যার উত্তর পরম নির্ভুলতার সাথে দেওয়ার প্রয়োজন নেই।

প্রমাণ

ছক কাগজের সাহায্যে

• 
  চিত্র ১.θ এর সাথে মৌলিক odd ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের তুলনা। এটি দেখা যায় যে কোণ ০ এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে অনুমানগুলি আরও ভাল হয়ে যায়।
• 
  চিত্র ২. cos θ এর সাথে 1 − +θ^২/২ এর তুলনা। এটি দেখা যায় যে কোণ ০ এর কাছাকাছি আসার সাথে সাথে অনুমান আরও ভাল হয়।

জ্যামিতির সাহায্যে

এখানে H ও A প্রায় সমান হবার জন্য,

$${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta }$$

$${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

কলনবিদ্যার সাহায্যে

স্যান্ডুইচ উপপাদ্য প্রয়োগে দেখা যায়, $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1}$$ $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1}$$

লা'হোপিটাল নিয়ম থেকে জানা যায়, $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$ বা, ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

বীজগণিতের সাহায্যে

টেলর ধারা থেকে জানা যায়,^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$$ যেখানে θ রেডিয়ানে। পরিষ্কারভাবে, $${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }$$

এখন θ খুবই ছোট হলে, অনুমান করাই যায় যে, $${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$$

আবার ${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$, সেই জন্য $${\displaystyle \tan \theta \approx \theta }$$

ত্রুটি

চিত্র ৩. আপেক্ষিক ত্রুটি প্রদর্শনকারী একটি গ্রাফ

• cos θ ≈ 1 at about 0.1408 radians (8.07°)
• tan θ ≈ θ at about 0.1730 radians (9.91°)
• sin θ ≈ θ at about 0.2441 radians (13.99°)
• cos θ ≈ 1 − +θ^২/২ at about 0.6620 radians (37.93°)

ব্যবহার

জ্যোতির্বিজ্ঞান

জ্যোতির্বিজ্ঞানে, দূরবর্তী বস্তুর চিত্র দ্বারা কৌণিক আকার বা কোণটি প্রায়শই মাত্র কয়েক আর্কসেকেন্ডের হয়, তাই এটি ছোট কোণের আনুমানিকতার জন্য উপযুক্ত। সরল সূত্র দ্বারা রৈখিক আকার (D) কৌণিক আকার (X) এবং পর্যবেক্ষক (d) থেকে দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265}}}$

যেখানে X আর্কসেকেন্ডে মাপা হয়।

206265 সংখ্যাটি একটি বৃত্তের আর্কসেকেন্ড সংখ্যার প্রায় সমান (1296000), 2π দ্বারা বিভক্ত, বা, 1 রেডিয়ানে আর্কসেকেন্ডের সংখ্যা।

দোলক

দ্বিতীয়-ক্রমের কোসাইন আনুমানিকতা একটি পেন্ডুলামের সম্ভাব্য শক্তি গণনা করার জন্য বিশেষভাবে কার্যকর, যা গতির পরোক্ষ (শক্তি) সমীকরণ খুঁজে পেতে একটি ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

একটি সাধারণ পেন্ডুলামের সময়কাল গণনা করার সময়, সাইনের জন্য ক্ষুদ্র-কোণ অনুমান ব্যবহার করা হয় যাতে সরল দোলগতি বর্ণনাকারী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সাথে তুলনা করে ফলস্বরূপ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সহজে সমাধান করা যায়।

আলোকবিজ্ঞান

রশ্মি-আলোকবিজ্ঞান

উপাক্ষীয় আলোকরশ্মি সংক্রান্ত গণনার কাজে এটি উপযোগী।

তরঙ্গ-আলোকবিজ্ঞান

মূল নিবন্ধ: দ্বি-চিড় পরীক্ষণ

তথ্যসূত্র

1. Boas, Mary L. (২০০৬)। Mathematical Methods in the Physical Sciences। Wiley। পৃষ্ঠা 26। আইএসবিএন 978-0-471-19826-0।উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)