অন্তরজ

কোন ফাংশনের অন্তরকলজ বা অন্তরক সহগ বা ডেরিভেটিভ স্বাধীন চলকের সূক্ষ্মাতিসূক্ষ্ম পরিবর্তনের জন্য ফাংশনের (অধীন চলকের) পরিবর্তন নির্ণয় করে। অন্তরজ ক্যালকুলাসের মৌলিক অংশ। উদাহরনস্বরূপ, কোন বস্তুর বেগ হল সময়ের সাপেক্ষে তার অবস্থান পরিবর্তনের অন্তরজ বা হার। এটি নির্দেশ করে বস্তুটি সময়ের সাথে কীভাবে অবস্থান পরিবর্তন করছে। একটিমাত্র চলকের জন্য কোন ফাংশনের কোন একটি বিন্দুতে যখন অন্তরজের মান থাকে তখন তা ফানশনের সেই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মানের সমান হয়। স্পর্শক রেখাটি গৃহীত মানের কাছাকাছি ফাংশনটির সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান। তাই অন্তরজকে প্রায়ই তাৎক্ষনিক পরিবর্তনের হার হিসবে বর্ণনা করা হয়। অন্যভাবে, অধীন চলকের তাৎক্ষনিক পরিবর্তন, স্বাধীন চলকের পরিবর্তনের অণুপাত।

কালো রেখাটি একটি ফাংশন ও লাল রেখাটি এর একটি স্পর্শক নির্দেশ করছে। স্পর্শক রেখাটির ঢাল চিত্রে দেখানো বিন্দুতে ফাংশনটির অন্তরজের সমান হবে।

অন্তরজকে বিভিন্ন বাস্তব চলকের ফাংশনে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এই সিদ্ধান্তে, অন্তরজকে রৈখিক রূপান্তর হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে যার যার লেখচিত্র (রুপান্তরের পর) আসল লেখচিত্রের সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান। জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স হল এমন ম্যাট্রিক্স যা নির্ধারিত স্বাধীন ও নির্ভরশীল চলকের ভিত্তিতে এই রৈখিক রূপান্তর প্রকাশ করে। স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে এটা আংশিক অন্তরজ নির্ণয় করতে পারে। বিভিন্ন চলকের বাস্তব-মানের-ফাংশনের জন্য জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স গ্র্যাডিয়েন্ট ভেক্টরের ব্যবহার হ্রাস করে। কোন ফাংশনের অন্তরজ নির্ণেয়ের প্রক্রিয়াকে অন্তরীকরণ বা ব্যাবকলন বলে। এর বিপরীত প্রক্রিয়াকে বলে প্রতি-অন্তরজ। ক্যাকুলাসের মৌলিক তত্ত্ব বলে যে, প্রতি-অন্তরজ ও সমাকলন একই কথা। অন্তরীকরণ ও সমাকলন এক চলকীয় ক্যালকুলাসে দুটি মৌলিক প্রক্রিয়া স্থাপন করেছে।^[1]

অন্তরীকরণ ও অন্তরজ

অন্তরীকরণ হল অন্তরজ নির্ণেয়ের একটি প্রক্রিয়া। কোন ফাংশন f(x) এর চলক x এর জন্য এর অন্তরজ অই চলকের পরিবর্তনের সাপেক্ষে ফাংশনের পরিবর্তনের হার পরিমাপ করে। এটাকে বলে x এর সাপেক্ষে f এর অন্তরজ। যদি x ও y বাস্তব সংখ্যা হয় তবে f বনাম x এর লেখচিত্র আঁকলে এর প্রতিটি বিন্দুতে অন্তরজের মান এর অই বিন্দুতে স্পর্শকের ঢালের মানের সমান।

ধ্রুব ফাংশন বাদ দিয়ে সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্র হয় তখন, যখন y, x এর একটি রৈখিক ফাংশন হয়। এটার মানে হল y বনাম x এর লেখচিত্র একটি সরলরেখা। এই শর্তে, y = f(x) = m x + b, m ও b বাস্তব সংখ্যা এবং ঢাল m হয়

${\displaystyle m={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}$

যেখানে Δ (ডেল্টা) প্রতিকটি "পরিবর্তন" প্রকাশ করে। এই সূত্রটি সত্য কারণ

সুতরাং,

${\displaystyle y+\Delta y=y+m\,\Delta x,}$

এভাবে,

${\displaystyle \Delta y=m\,\Delta x.}$

এটি সরলরেখাটির একদম সঠিক ঢাল বের করে দেয়। যদি f ফাংশনটি সরলরৈখিক না হয় (উদাহরণটির লেখচিত্র সরলরেখা নয়) বা যাই হোক না কেন সেক্ষেত্রে y এর পরিবর্তন ও x এর পরিবর্তন এর অণুপাত পরিবর্তনশীল হবে। অন্তরীকরণ হল এমন প্রক্রিয়া যা দিয়ে x এর দেওয়া যেকোন মানের জন্য পরিবর্তনের হারের একদম সঠিক মান পাওয়া যায়।

১ থেকে ৩ নং চিত্রের ধারণাটি Δx এর অতিক্ষুদ্র মানের জন্য পরিবর্তনদ্বয়ের অণুপাতের সীমান্ত মান, ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}$ বা পরিবর্তনের হার হিসাব করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

প্রতীক

অন্তরজের জন্য দুটি স্বতন্ত্র প্রতীক সাধারণত ব্যবহার করা হয়, একটি লিবনিজের কাছ থেকে পাওয়া ও অপরটি জোসেফ লুইস ল্যাগ্রাঞ্জের থেকে।

লিবনিজের প্রতীকে, x এর সূক্ষাতিসূক্ষ্ম পরিবরতন কে dx দ্বারা এবং x এর সাপেক্ষে y এর অন্তরজকে লেখা হয়

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}$

দুটি অতিক্ষুদ্র পরিমাণের অণুপাত। (উপরের রাশিটিকে পড়া হয় "x এর সাপেক্ষে y এর অন্তরজ", "dy ভাগ dx", "dx ভাগের dy". মৌখিক ভাবে প্রায়ই "dy dx" ব্যবহার করা হয় যদিও তা প্রায়ই বিশৃঙ্খলা সৃষ্টি করে।)

অন্তরজ চলকের অস্পষ্টতার ক্ষেত্রে ল্যাগ্রাঞ্জের প্রতীকে x এর সাপেক্ষে f(x) এর অন্তরজকে f '(x) (পড়া হয় "f প্রাইম অফ x") অথবা  f x'(x) (পড়া হয় "f প্রাইম অফ x") এ প্রকাশ করা হয়। ল্যগ্রাঞ্জের প্রতীক মাঝে মাঝে নিউটনের কাছে ভুল হিসেবে ধরা হয়।

যথাযথ সংজ্ঞা

একটি সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি হল বাস্তব সংখ্যার পার্থক্যের ঠিকঠাক সীমা হিসাবে অন্তরজকে সংজ্ঞায়িত করা।^[2] এটি নিচের বর্ণিত পন্থা।

মনে করি, f হল a এর আশেপাশে সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব সংখ্যার ফাংশন। শাস্ত্রীয় জ্যামিতিতে, কোন ফাংশন f এর a বিন্দুতে স্পর্শক রেখা (a, f(a)) বিন্দুতে একমাত্র অনন্য রেখা যা লেখচিত্রটিকে আড়াআড়িভাবে স্পর্শ করে না অর্থাৎ, রেখাটি লেখচিত্রটিকে ছেদ করে যায় না। a বিন্দুতে x এর সাপেক্ষে y এর অন্তরজ জ্যামিতিকভাবে,  f এর লেখচিত্রের (a, f(a)) বিন্দুতে স্পর্শক রেখার ঢাল। স্পর্শক রেখাটির ঢাল, লেখচিত্রের (a, f(a)) ও এর খুব কাছাকাছি কোন বিন্দুগামী সরলরেখার ঢালের খুব কাছাকাছি। উদাহরনসরূপ, (a + h, f(a + h))। এদেরকে বলা হয় ছেদক-রেখা। শুন্য এর কাছাকাছি h এর মান স্পর্শক রেখার ঢালের ভাল আসন্ন মান দিতে পারে এবং h এর খুব ছোটো মান (পরম মান), সাধারণভাবে, ভাল অণুমান দিতে পারে। ছেদক রেখাটির ঢাল m হল y মানগুলোর পরিবরতন ও x মানগুলোর পরিবর্তনের ভাগফল। তা হল,

${\displaystyle m={\frac {\Delta f(a)}{\Delta a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

এই রাশিমালাটি হল নিউটনের ব্যবধানের ভাগফল। আসন্নমান থেকে সঠিক মান পেতে লিমিট ব্যবহার করেত হবে। জামিতিকভাবে, ছেদক্-রেখার লিমিট/সীমান্তমানই হল স্পর্শক রেখা। অতএব, h শূন্য এর কাছাকাছি পৌছালে পার্থক্যের ভাগফলের সীমান্ত মান যদি থাকে তবে তা অবশ্যই (a, f(a)) বিন্দুর স্পর্শক রেখাকে নির্দেশ করবে। এই লিমিট/সীমান্তমানটি f ফাংশনটির a বিন্দুতে অন্তরজ হিসেবে সংজ্ঞায়িতঃ

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

যখন সীমার মান থাকে তখন f  কে a বিন্দুতে অন্তরীকরনযোগ্য বলা হয়। এখানে f′ (a) হল অন্তরজ প্রকাশ করার বিভিন্ন সাধারণ প্রতীকগুলোর মধ্যে একটি (নিচে দেখুন)।

একইভাবে, অন্তরজটি নিচের বৈশিষ্ট্য মেনে চলে,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-f'(a)\cdot h}{h}}=0,}$

যার প্রচলিত ব্যাখ্যা আছে (চিত্র ১) যে  f এর a তে স্পর্শক রেখা সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}$

a এর কাছাকাছি f এ সর্বোচ্চ রৈখিক আসন্ন মান প্রদান করে। অন্যান্য সেটিংস সম্পর্কে সিধান্ত গ্রহণ করার সবচেয়ে সহজ পদ্ধিতি হল এই ব্যাখ্যা (নিচে দেখুন)।

h এর বদলে 0 বসালে পার্থক্য ভাগফল শূন্য দ্বারা ভাগ ঘটায়, তাই এই পদ্ধতিতে সরাসরি স্পর্শক রেখার ঢাল নির্ণয় করা সম্ভব নয়। এর পরিবর্তে পার্থক্য ভাগফল হতে Q(h) কে h এর একটি ফাংশন রূপে সংজ্ঞায়িত করঃ

${\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Q(h) হল (a, f(a)) এবং (a + h, f(a + h)) এর ছেদকারী রেখার ঢাল। যদি f একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন হয়, তবে তার লেখচিত্র হবে কোনো ফাঁক ছাড়া একটি আস্ত রেখা, তাহলে Q হবে h = 0 থেকে শুরু করে একটি নীরবিচ্ছিন্ন ফাংশন।  যদি lim_h→0Q(h) এর সীমা থাকে, Q(0) এর একটি মান বেছে নেওয়ার একটি সুযোগ থাকে যা Q কে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনে রূপ দেয়, তাহলে  f  a তে অন্তরীকরণযোগ্য একটি ফাংশন হয়, এবং a তে এর অন্তরজ Q(0)।

বাস্তবে, h = 0 তে পার্থক্য ভাগফল Q(h) এর ধারাবাহিক ব্যাপ্তির অস্তিত্ত হরে h কে বাতিল করার জন্য লবকে পরিবর্তন করে দেখানো হয়। কিছু হাতের কৌশল ক্ষুদ্র h এর জন্য Q এর সীমার মানকে স্পস্ট করতে পারে যদিও h = 0 তে Q সঙ্গায়িত নয়। এই প্রক্রিয়া জটিল ফাংশন জন্য দীর্ঘ ও ক্লান্তিকর হতে পারে এবং সাধারণভাবে সহজতর করার জন্য অনেক শর্টকাট প্রক্রিয়া ব্যবহৃত হয়।

হাইপাররিয়াল এর উপর সংজ্ঞা

বাস্তব সংখ্যার হাইপাররিয়াল ব্যাপ্তিতে R ⊂ R^* এর সাথে, বাস্তব ফাংশন y = f(x) এর কোন বাস্তব বিন্দু x এ অন্তরজ অতিক্ষুদ্র ∆x এর জন্য ভাগফল +∆y/∆x এর shadow হিসেবে সঙ্গায়িত, যেখানে ∆y = f(x+ ∆x) - f(x)। এখানে f এর hyperreal extension বা হাইপাররিয়াল ব্যাপ্তি এখনও f কেই প্রকাশ করে। এখানে অন্তরজের অন্তিত্ব থাকে যদি shadow ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র মানের উপর অনির্ভরশীল হয়।   

উদাহরণ

বর্গ ফাংশন  f(x) = x², x = 3 তে অন্তরীকরনযোগ্য এবং এখানে এর অন্তরজ 6. এই ফলাফলটি h শূন্য এর নিকটবর্তী হওয়ার জন্য  f(3) এর পার্থক্য ভাগফল নির্ণেয়ের মাধ্যমে নির্ণীত হয়ঃ

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.\end{aligned}}}$

ভাগফলের সংজ্ঞা অনুযায়ী সর্বশেষ রাশিটির মান হয় 6 + h যখন h ≠ 0 এবং অনির্ণেয় যখন h = 0। যাইহোক, সীমার সংজ্ঞা বলে পার্থক্য ভাগফল h = 0 তে সংজ্ঞায়িত হওয়ার দরকার হয় না। সীমা হল h শূন্যের কাছাকাছি যাওয়ার ফলাফল, যা বোঝায়, মানটি 6 + h এর কাছে পৌঁছায় যখন h খুব ক্ষুদ্র হয়ঃ

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}$

অতএব, বর্গ ফাংশনটির লেখিত্রের (3, 9) বিন্দুতে ঢালের মান 6 এবং তাই x = 3 তে অন্তরজ f′(3) = 6.

আরও সাধারণভাবে, একটি অনুরূপ হিসাব দেখায় যে x = a তে বর্গ ফাংশনটির অন্তরজ f′(a) = 2a.

অবিচ্ছিন্নতা ও অন্তরীকরণযোগ্যতা

চিহ্নিত বিন্দুতে ফাংশনটির কোন অন্তরজ নেই, যেহেতু সেখনে তা অবিচ্ছিন্ন নয় (প্রকৃতপক্ষে, এটি বিচ্ছিন্নভাবে শুরু হয়েছে)

যদি, y = f(x), a বিন্দুতে অন্তরীকরনযোগ্য হয় তবে f কে অবশ্যই a বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, a একটি বিন্দু নিই এবং ধরি f  হল একটি ধাপে বিচ্ছিন্ন ফাংশন যা একটি মান প্রদান করবে। x এর মান a এর চেয়ে ছোটো হলে ১ প্রদান করে এবং x এর মান a এর চেয়ে বড়ো বা সমান হলে একটি ভিন্ন মান ১০ প্রদান করে। তাই, a তে f  এর কোন অন্তরজ থাকতে পারে না। যদি h ঋনাত্নক হয় তবে a+h হয় ধাপের নিম্ন অংশ তাই a থেকে a+h বিন্দুগামী ছেদক রেখা খুব খাড়া হবে অর্থাৎ, h শূন্যের কাছে পৌছালে ঢাল অসীমের কাছে পৌছায়। আবার যদি, h ধনাত্নক হয় তবে a+h হবে ধাপের উচু অংশ তাই a ও a+h এর ছেদবিন্দুগামী রেখার ঢান শূন্য। ফলে, ছেদক রেখার ঢাল কোনো একক ঢালের নিকটবর্তী হয় না তাই পার্থক্য ভাগফলের সীমার কোন অস্তিত্ত নেই।

পরমমান ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন কিন্তু x=0 বিন্দুতে অন্তরীকরণযোগ্য নয় কেননা বামদিক ও ডানদিক থেকে স্পর্শকের ঢাল একই মানে পৌঁছায় না।

এমনকি কোন ফাংশন একটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হওয়া সত্তেও সেখানে অন্তরীকরনযোগ্য নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পরম মান ফাংশন y = | x |, x = 0, বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন কিন্তু অনতরীকরনযোগ্য নয়। যদি h ধনাত্নক হয় তবে 0 থেকে h এ ছেদকারী রেখার ঢাল হবে ১ কিন্তু যদি h ঋনাত্নক হয় তবে 0 থেকে h এ ছেদকারী রেখার ঢাল হবে ঋনাত্নক ১। এটা লেখচিত্রে x = 0 তে "গীড়া" অথবা "শিখর" মনে হবে। এমনকি একটি ফাংশনের লেখচিত্র সুষম হলেও যেখানে এর স্পর্শক উলম্ব সেখানে তা অন্তরীকরন্যোগ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, y = x^1/3 ফাংশন x = 0 তে অন্তরীকরনযোগ্য নয়।

সংক্ষেপে বলা যায়ঃ একটি ফাংশন f এর অন্তরজ থাকার জন্য ফাংশন f কে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে, কিন্তু কেবলমাত্র একা অবিচ্ছিন্নতা ধরে রাখা যথেষ্ট নয়।

বাস্তবে সর্বাধিক ফাংশনের সব বিন্দুতেই বা প্রায় প্রতিটি বিন্দুতেই অন্তরজ আছে। প্রারম্ভিক ক্যালকুলাসের ইতিহাসে, অনেক গণিতবিদ ধারণা করেন যে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন প্রায় সব বিন্দুতেই অনতরীকরনযোগ্য। মধ্য সময়ের দিকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন একটি মনোটোনি ফাংশন বা লিপসিজ ফাংশন হলে তা সত্য হয়।  যাইহোক, ১৯৭২ সালে, হুইসট্রাস এমন একটি ফাংশন খুজে পান যা অবিচ্ছিন্ন কিন্তু অন্তরীকরণযোগ্য নয়। এটি হুইসট্রাস ফাংশন হিসাবে পরিচিত। ১৯৩১ সালে, স্টিফান ব্যনাচ প্রমাণ করেণ যে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সেটের জগতে একটি ক্ষুদ্র সেট যার কিছু বিন্দুত এর একটি অন্তরজ আছে।. অনানুষ্ঠানিকভাবে, এটা বোঝায় যে খুব কম অবিচ্ছিন্ন ফাংশেনেরই অন্তত একটি বিন্দুতে অন্তরজ আছে।

ফাংশন হিসেবে অন্তরীকরণ

ধরি, f হল একটি ফাংশন যার ডোমেইনের প্রতিটি বিন্দু a তে অন্তরজ আছে। কারণ যেকোন বিন্দু a তে অন্তরজ a এর একটি ফাংশন। ফাংশনটিকে f ′(x) লিখা হয় এবং একে  f এর অন্তরজ ফাংশন অথবা f এর অন্তরজ বলা হয়। f এর অন্তরজ, f এর ডোমেইনের অন্তর্গত সকল অন্তরজ নির্ণয় করে।

কখনো কখনো f অধিকাংশ বিন্দুতে অন্তরজ থাকে কিন্তু ডোমেইনের সকল বিন্দুতে নয়। a বিন্দুতে ফাংশনটির মান f ′(a) যখন f ′(a) নির্ধারিত এবং অন্যথায় যখন তা অনির্ধারিত তখনো একে f এর অন্তরজ বলা হয়। যদিও এটা একটা ফাংশন কিন্তু এর ডোমেইন f এর ডোমেইনের চেয়ে ক্ষুদ্র।

এই ধারণাক্রমে, অন্তরীকরণ হল কোন ফাংশনের ফাংশনঃ অন্তরজ হল একটি অপারেটর যার ডোমেইন সকল ফাংশনের সেট যার ডোমেইনের প্রত্যেকটি বিন্দুতে অন্তরজ আছে এবং যার রেঞ্জ ফাংশনের সেট। যদি আমরা এটিকে D দ্বারা প্রকাশ করি তাহলে D(f) হবে f ′(x)। যেহেতু D(f) হল একটি ফাংশন, তাই এটি যেকোন বিন্দু a তে নির্ণয় করা যাবে। সংজ্ঞানুসারে, অন্তরজ ফাংশনটি D(f)(a) = f ′(a)।

তুলনা করার জন্য, দ্বিগুনের ফাংশন f(x) = 2x বিবেচনা  করি; f একটি বাস্তব সংখ্যা একটি বাস্তব মূল্যবান ফাংশনঃ এটা ইনপুট হিসেবে সংখ্যা নেয় এবং আউটপুট হিসেবে যা দেয়

${\displaystyle {\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}}$

D অপারেটর পৃথক পৃথক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত নয়। এটি শুধুমাত্র ফাংশনের জন্য সঙ্গায়িতঃ

${\displaystyle {\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D(x\mapsto x^{2})&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}}$

কারণ D এর আউটপুট হল একটি ফাংশন তাই D এর আউটপুট যেকোন বিন্দুতে নির্নেয়। উদাহহণসরূপ, যখন D কে বর্গ ফাংশন x ↦ x² এ প্রয়োগ করা হবে, D দিগুণের ফাংশন x ↦ 2x আউটপুট দেয় যার নাম f(x)। ফাংশনটি দ্বারা  f(1) = 2, f(2) = 4 ইত্যাদি নির্ণয় করা যেতে পারে।

উচ্চতর অন্তরজ

ধরি, f একটি অন্তরীকরনযোগ্য ফাংশন f ′(x) তার অন্তরজ। f ′(x) এর অন্তরজকে (যদি থাকে) f ′′(x) লিখা হয় এবং একে f এর দ্বিতীয় অন্তরজ পড়া হয়। অনুরূপভাবে, দ্বিতীয় অন্তরজের অন্তরজকে f ′′′(x) লিখা হয় এবং একে f এর তৃতীয় অন্তরজ বলা হয়। পরযায়ক্রমে, কেউ (n-1)তম অন্তরজের অন্তরজ বা nতম অন্তরজকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে। এই পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণকে উচ্চ-মাত্রার অন্তরজ বলা হয়। n তম অন্তরজকে n মাত্রার অন্তরজও বলা হয়।

যদি, x(t) সময় t এর সাপেক্ষে অবস্থান বোঝায় তবে x এর উচ্চ-মাত্রার অন্তরজের বাহ্যিক ব্যাখ্যা থাকে। x এর দ্বিতীয় অন্তরজ হল বেগ x′(t) এর অন্তরজ এবং সংজ্ঞানুসারে যা ত্বরণ। x এর তৃতীয় অন্তরজ জার্ক এবং চতুর্থ অন্তরজ জাউন্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত।

উদাহরণসরূপ, কোন ফাংশন f এর অন্তরজ থাকবে না যদি তা অবিচ্ছিন্ন না হয়। একইভাবে f এর অন্তরজ থাকলেও এর দ্বিতীয় অন্তরজ নাও থাকতে পারে।

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

বলা যায়, f  হল একটি অনতরীকরনযোগ্য ফাংশন এবং যার অন্তরজ হল

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}}$

f ′(x) হল দিগুণের পরমমান ফাংশন এবং এর শূন্য বিন্দুতে কোন অন্তরজ নেই। একই উদাহরণ থেকে দেখা যায়, যেকোন অঋনাত্নক পূর্ণসংখ্যা k এর জন্য k তম অন্তরজ থাকলেও  (k + 1) তম অন্তরজ নেই। একটি ফাংশনের k পর্যন্ত অন্তরজ থাকলে একে k বার অন্তরীকরনযোগ্য বলা হয়। উপরন্তু যদি, kতম অন্তরজ অবিচ্ছিন্ন হয় তবে ফাংশনটিকে অন্তরীকরণযোগ্য শ্রেণী C^k বলা হয়। (এটি K তম অন্তরজ থাকার চেয়ে শক্তিশালী শর্ত। উদাহরণস্বরূপ, অন্তরীকরণযোগ্যতা শ্রেণী দেখুন।) অসীমসংখ্যক অন্তরজ আছে এমন একটি ফাংশনকে অসীমসংখ্যকবার অন্তরীকরণযোগ্য বা সুষম বলা হয়।

বাস্তব লাইনে, সব বহুপদী ফাংশন অসীমবার অন্তরীকরণযোগ্য হয়। যদি, n মাত্রার একটি বহুপদীকে n বার অন্তরীকরণ করা হয়, তবে আদর্শ বিধি দ্বারা, তারপর, এটা একটি ধ্রুব ফাংশনে পরিণত হয়। তার পরবর্তী অন্তরজ সকল সকলে শূন্য হয়। বিশেষ করে, তারা বিদ্যমান, তাই বহুপদীরা সুষম ফাংশন হয়।

কোন ফাংশন f এর x বিন্দুতে অন্তরজ x এর কাছাকাছি অণুমানের একটি বহুপদী ফাংশন প্রদান করে। উদাহরণস্বরূপ, f যদি দুবার অন্তরীকরনযোগ্য হয় তাহলে,

${\displaystyle f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}}$

ধারণাক্রমে,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.}$

যদি f অসীমসংখ্যকবার অন্তরীকরযোগ্য হয় তবে এটা হল x এর আশপাশে x+h এর জন্য f এর মানের জন্য টেইলরের ধারার শুরুর অংশ।

আনতি বিন্দু

.^[3] একটি ফাংশনের একটি বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ চিহ্ন পরিবর্তন করলে সেটাকে আনতি বিন্দু বলা হয়। একটি আনতি বিন্দুতে y = x³ এর x = 0 এর জন্য দ্বিতীয় অন্তরজ  শূন্য, হতে পারে বা এটা আনতি বিন্দু x = 0 তে  y = x^1/3 এর অস্তিত্ব প্রকাশে ব্যর্থ হতে পারে। একটি আনতি মুহূর্তে, একটি উত্তল ফাংশন ফাংশন অবতল ফাংশনে রূপ নিতে পারে।

প্রতীক (বিস্তারিত)

লিবনিজের প্রতীক

গটফ্রিড লিবনিজের দ্বারা প্রবর্তিত অন্তরজের প্রতীক সবচেয়ে পূরাতন গুলোর একটি। এটি এখনো সাধারণত ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যখন y = f(x) সমীকরণকে স্বাধীন ও নিরভরশীল চলকের সম্পর্করূপে দেখা হয়। এভাবে প্রথম অন্তরজকে প্রকাশ করা হয়

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x),}$

এবং একটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ভাগফল হিসেবে ভাবা হয়। উচ্চ অন্তরজকে এই প্রতীক ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

এরা অন্তরজ প্রক্রিয়ার একাধিক ব্যবহারের জন্য y = f(x) এর n তম অন্তরজের ( x এর সাপেক্ষে) সংখিপ্তরূপ।

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

লিবনিজের প্রতীকে আমরা x = a বিন্দুতে y এর অন্তরজকে দুইভাবে প্রকাশ করতে পারিঃ

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}$

লিবনিজের প্রতীক অন্তরীকরণের জন্য চলককে বেছে নিতে দেয় (হরে)। এটা আংশিক অন্তরীকরণের জন্য বিশেষ প্রাসঙ্গিক। এটা চেইন রুলকেও মনে রাখতে সহজ করে:^[4]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

ল্যাগ্রাঞ্জের প্রতীক

অন্তরীকরণের জন্য জোসেফ-লুইস-ল্যাগ্রাঞ্জের সবচেয়ে সাধারণ আধুনিক প্রতীককে কখনো প্রাইম প্রতীক বলা হয় হয়, যা প্রকাশ করতে প্রাইম ব্যবহৃত হয়, তাই কোন ফাংশন f(x), এর অন্তরজ f′(x) অথবা সহজভাবে f′ দ্বারা সূচিত হয়। একইভাবে, দ্বিতীয় ও তৃতীয় অন্তরজ সূচিত হয়

${\displaystyle (f')'=f''\,}$ এবং  ${\displaystyle (f'')'=f'''.}$

অই বিন্দু ব্যতীত অন্তরজ ক্রম বোঝানোর জন্য কিছু লেখক শীর্ষদেশে রোমান সংখ্যাসমূহ ব্যবহার করে আবার কেউ প্রথম বন্ধনীতে সংখ্যা ব্যবহার করেঃ

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }\,\!}$   অথবা   ${\displaystyle f^{(4)}.}$

পরের প্রতীকটি f এর n তম অন্তরজ বোঝাতে f ⁽ⁿ⁾ কে ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। – প্রতীকটি সবচেয়ে বেশি কাজের হয় যখন অন্তরজ নিজেই একটি ফাংশন হয় এবং সেক্ষেত্রে লিবনিজের প্রতীক ব্যবহার করা কষ্টকর হতে পারে।

নিউটনের প্রতীক

অন্তরীকরনের জন্য নিউটনের প্রতীক কে ডট প্রতীকও বলা হয়, কোন ফাংশনের নামের উপর ডট স্থাপন করার মাধ্যমে অন্তরজ প্রকাশিত হয়। যদি y = f(t) হয়, তাহলে 

${\displaystyle {\dot {y}}}$   এবং   ${\displaystyle {\ddot {y}}}$

যথাক্রমে t এর সাপেক্ষে প্রথম ও দ্বিতীয় অন্তরজ সূচিত করে। এই প্রতীকটি বিশেষভাবে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরজের জন্য ব্যবহার করা হয় যা ফাংশনের স্বাধীন চলক হিসেবে সময়কে বোঝায়। এটা পদার্থবিজ্ঞানে ও পদার্থবিজ্ঞানের অন্তরজ সমীকরনের সাথে সম্পর্কযুক্ত গাণিতিক সূত্রে ব্যপকভাবে ব্যবহৃত হয়। প্রতীকটি উচ্চ মাত্রার অন্তরজের জন্য সুলভ হয়ে ওঠে যেখানে বাস্তবে শুধুমাত্র খুব কম মাত্রার অইন্তরজেরই প্রয়োজন হয়।

ফ্লুয়েন্ট ও ফ্ল্যাক্সিওন

নিউটন ফ্লুয়েন্ট ও ফ্ল্যাক্সিওন দিয়ে ক্যালকুলাস কে ব্যাখ্যা করতে চেয়েছিলেন। তিনি বলেছিলেন প্রজম্মের হার হল জন্মের পরিবর্তনের হার যা চলকের উপর একটি ডট দ্বারা সূচিত করা হয়। তাহলে হার পরিবর্তনের হার হল দ্বিতীয় হার বা দ্বিতীয় ফ্ল্যাক্সিওন যার উপর দুইটি ডট আছে। এই পরিবর্তনগুলো চিন্তা করা হয় শূন্যের খুব কাছাকাছি মানের জন্য কিন্তু শূন্য নয়। কিন্তু আপনি যখন দুটি হারকে গুণ করবেন তখন আপনি যা পাবেন তা শূন্যের মত আচরণ করবে। নিউটন সকল x কে ${\displaystyle x+{\dot {x}}}$ দ্বারা ও সকল y কে ${\displaystyle y+{\dot {y}}}$ এবং তারপর অন্তরীকরণের সূত্র ব্যবহার করে ${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\,.}$ এর সমাধান নির্ণয় করে অন্তরজ নির্ণয় করেছিলেন^[5] একটি উদাহরণ হলঃ

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}=1\\(x+{\dot {x}})^{2}+(y+{\dot {y}})^{2}=1\\x^{2}+2x{\dot {x}}+{\dot {x}}^{2}+y^{2}+2y{\dot {y}}+{\dot {y}}^{2}=1\\x^{2}+2x{\dot {x}}+y^{2}+2y{\dot {y}}=1\end{aligned}}}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ব্যবহার করে আমরা পাই ${\displaystyle 2x{\dot {x}}+2y{\dot {y}}=0}$ এবং ${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}=-{\frac {2x}{2y}}}$ তাহলে, ${\displaystyle {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}=-{\frac {x}{y}}}$.

নিউটন অবিচ্ছিন্ন গতিকে গাণিতিক পরিমাণে বর্নণা করেছিলেন। তিনি বলেছিলেন, এই গতি ও একটি রেখা একই ভাবে চিন্তা করা যেতে পারে। তিনি এই পরিমাণকে সংজ্ঞায়িত করেন ও একে “ফ্লুয়েন্ট” নাম দেন। তিনি এই পরিমাণের পরিবর্তন কে হার নাম গিয়েছিল। নিউটন একে "ফ্লুয়েন্ট/অনর্গল এর হার" বলেন এবং তিনি  ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ব্যবহার করে তা প্রকাশ করেন।

যদি ফ্লুয়েন্ট x, দ্বারা সূচিত হয় তবে নিউটন প্রথম হারকে/ফ্ল্যাক্সিওনকে ${\displaystyle {\dot {x}}}$ দ্বারা, দ্বিতীয় হারকে/ফ্ল্যাক্সিওনকে ${\displaystyle {\ddot {x}}}$, দ্বারা এভাবে। অন্তরজের জন্য আধুনিক প্রতীকের সাথে এটা সামজ্জস্যপূর্ণ। স্বাধীন চলক সময় t এর সাপেক্ষে চলক x এর হার বা বেগ ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$.  অন্যভাবে, সময় t এর সাপেক্ষে f=(x)) এর অন্তরজ  ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

ফ্লুয়েন্টের ভ্রামক

নিউটন o কে ফ্লুয়েন্টের/হারের ভ্রামক বলেছিলেন। ফ্লুয়েন্টের ভ্রামক অসীম ছোটো ছোট অংশ উপস্থাপন করে যার দ্বারা একটি ফ্লুয়েন্টে অল্প সময়সীমার মধ্যে বৃদ্ধি পায়। তিনি একবার নিজেকে o দ্বারা ভাগ করার অনুমতি দেন (যদিও o শূন্যের মত আচরণ করবে না কারণ এটা ভাগকে অবৈধ করে ফেলে।) এবং নিউটন সিদ্ধান্ত নিলেন বেন 0 যুক্ত সকল পদ মুক্ত করাই যযাযথ। 

অয়লারের প্রতীক

অয়লারের প্রতীক একটি অন্তরীকরণ অপারেটর D ব্যবহার করে, যা কোন ফাংশন f এর প্রথম অন্তরজ Df নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়। দ্বিতীয় অন্তরজকে D²f দ্বারা এবং n তম অন্তরজকে Dⁿf দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

যদি y = f(x) কোন নির্ভরশীল চলক হয়, তবে প্রায়ই D এর সাথে নিম্নলিখিত x যুক্ত করে স্বাধীন চলক x প্রকাশ করা হয়। তাহলে অয়লারের প্রতীককে লেখা হয়

${\displaystyle D_{x}y\,}$   অথবা  ${\displaystyle D_{x}f(x)\,}$,

যদিও নিম্নলিখিত চলক প্রায়ই বর্জন করা হয় যখন চলক x বোঝা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যখন কোন রাশিতে একটিমাত্র চলক উপস্থিত থাকে।

রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরন শুরু ও সমাধান করার জন্য অয়লারের প্রতীক কার্যকরী।

নির্ণয়ের নিয়ম

একটি ফাংশনের অন্তরজ, মূলনিয়মে/সংজ্ঞা থেকে পার্থক্য ভাগফল বিবেচনা করে এবং তার সীমা হিসাবের দ্বারা নির্ণয় করা যায়। বাস্তবে, কয়েকটি সহজ ফাংশনের অন্তরজ জানা থাকলে জটিল ফাংশনের অন্তরজ নির্ণেয়ের নিয়ম ব্যবহার করে আরও সহজে অন্যান্য ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করা যায়।

 মৌলিক ফাংশনের জন্য নিয়ম

বেশিরভাগ ফাংশনের অন্তরজ নির্ণেয়ের জন্য কিছু সাধারণ ফাংশনের অন্তরজ দরকার পরে। এই অসম্পূর্ণ তালিকায় এক চলকের সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত কিছু ফাংশনের অন্তরজ দেওয়া হল।

• ঘাতের অন্তরজঃ যদি

${\displaystyle f(x)=x^{r},}$

যেখানে r যেকোন বাস্তব সংখ্যা, তাহলে

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1},}$

যেকানে এই ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত। উদাহরণস্বরূপ, যদি ${\displaystyle f(x)=x^{1/4}}$ হয় তাহলে,

${\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4},}$

এবং অন্তরজ ফাংশন কেবলমাত্র x এর ধনাত্মক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত। x=0 এর জন্য নয় যখন r=0. এই নিয়ম এটাই বোঝায় যে x ≠ 0 এর জন্য f′(x) এর মান 0, যা সবসময় ধ্রুব নিয়ম (নিচে বিবৃত)

• সূচকীয় ও লগারীদমিক ফাংশনঃ

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x}}\log _{a}(e)={\frac {1}{x\ln(a)}}.}$

• ত্রিকোণমিতিক ফাংশনঃ

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).}$

• বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনঃ

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

সংযুক্ত ফাংশনের নিয়ম

অনেক ক্ষেত্রে দেখা যায়, অন্তরজ নির্ণেয়ের সময় নিউটনের পার্থক্য ভাগফলের সরাসরি ব্যবহার জটিল সীমার জন্য এড়ানো হয়। সবচেয়ে সাধারণ নিয়ম কিছু হল

• ধ্রুবকের সূত্রঃ যদি f(x) ধ্রুবক হয়, তবে

${\displaystyle f'=0.\,}$

• যোগের সূত্রঃ

যেকোন ফাংশন f ও g এবং \alpha and \beta কোন বাস্তব সংখ্যা হলে, ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}$

• গুণের সূত্রঃ

যেকোন ফাংশন f ও g এর জন্য ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$. বিশেষ ক্ষেত্রে এই সূত্র ${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$ আসলে অন্তর্ভুক্ত করে যখন ${\displaystyle \alpha }$ একটি ধ্রুবক, কেননা ধুবক সূত্র অনুসারে ${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$.

• ভাগের সূত্র

${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$  f ও g যেখানে যেকোন ফাংশন এবং যেকোন মানের জন্য g ≠ 0.

• চেইন রুলঃ যদি, ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$, তাহলে

${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).\,}$

নির্ণেয়ের উদাহরণ

ফাংশন

${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}$

এর অন্তরজ

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$

এখানে, দ্বিতীয় পদটি চেইন সূত্র ব্যবহার করে ও তৃতীয় পদটি গুণের সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়েছিল। x2, x4, sin(x), ln(x) ও exp(x) = ex এবং ধ্রুবপদ 7 এর জানা অন্তরজকেও ব্যবহার করা হয়েছিল।

উচ্চ মাত্রায় অন্তরজ

ভেক্টর ফাংশনের অন্তরজ

বাস্তব চলকের কোন সদিক মানের ফাংশন y(t) বাস্তব সংখ্যাকে ভেক্টর/সদিক ক্ষেত্র Rⁿ এ পাঠায়। একটা সদিক মানের ফাংশন তার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ফাংশন y₁(t), y₂(t), …, y_n(t) এ বিভক্ত হতে পারে পারে, যেখানে y(t) = (y₁(t), ..., y_n(t))। যেমন পরামিতিক রেখাচিত্রে R² অথবা R³।স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ফাংশনগুলো বাস্তব মানের ফাংশন, তাই অন্তরজের উপরের সংজ্ঞাগুলো এখানে কাজ করে।  y(t) এর অন্তরজকে এর স্পর্শক ভেক্টর বলা হয় যার স্থানাঙ্ক, স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ফাংশনের অন্তরজ। তা হলঃ

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=(y'_{1}(t),\ldots ,y'_{n}(t)).}$

একইভাবে,

${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$

যদি সীমা বিদ্যমান থাকে। লবের বিয়োগফল স্কেলার বিয়োগ নয় তা ভেক্টর বিয়োগ। যদি যেকোন বিন্দু t তে y এর অন্তরজ থাকে তবে y′ হবে একটি সদিক মানের ফাংশন।

যদি, e₁, …, e_n, Rⁿ এর ভিত্তিতে আদর্শ হয় তবে y(t) কে লিখা যায় y₁(t)e₁ + … + y_n(t)e_n। যদি আমারা ধরে নিই যে একটি সদিক মানের ফাংশন যোগাশ্রয়ী ধর্ম মেনে চলে তাহলে y(t) এর অন্তরজ অবশ্যই হবে

${\displaystyle y'_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+\cdots +y'_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$

কারণ প্রতিটি মূল ভেক্টর একটি ধ্রুবক।

এই সিদ্ধান্ত দরকারি উদাহরণস্বরূপ, যদি y(t) সময় t এর সাপেক্ষে কণার অবস্থান ভেক্টর হলে, y′(t) এর অন্তরজ সময় t তে বেগ ভেক্টর।

আংশিক অন্তরজ

মনে কর, f  এমন একটি ফাংশন যা একাধিক চলকের উপর নির্ভর করে—যেমন,

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

f কে একটি চলক দ্বারা সূচিত করে অন্য একটি চলকের ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ

${\displaystyle f(x,y)=f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

x ের পত্যেকটি মান একটি ফাংশন f_x তৈরি করে যা একটি বাস্তব সংখ্যার ফাংশন।.^[6] তা হল, 

${\displaystyle x\mapsto f_{x},\,}$

${\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,}$

যদি x এর কোন মান a নেওয়া হয় তবে, f(x, y), f_a নামে একটি ফাংশন তৈরি করে যা y কে a² + ay + y² দ্বারা প্রকাশ করেঃ

${\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,}$

রাশিটিতে a কোন চলক নয়, তা একটি ধ্রুবক, তাই f_a শুধুমাত্র এক বাস্তব চলকের একটি ফাংশন। ফলে, এক চলকের একটি ফাংশনের জন্য অন্তরজের সংজ্ঞা প্রযোজ্যঃ

${\displaystyle f_{a}'(y)=a+2y.\,}$

উপরের পদ্ধতি একটি কোনো a এর জন্য করা যেতে পারে. একটি ফাংশন মধ্যে অন্তরজ একত্রিতকরনের মাধ্যমে তা Y এর দিক f পরিবর্তন বর্ণনা করে একটি ফাংশন দেয়:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y.}$

এটা y এর সাপেক্ষে  f এর আংশিক অন্তরজ। এখানে একটি বৃত্তাকার ∂  কে আংশিক অন্তরজের প্রতীক বলা হয়। ∂ কে d থেকে আলাদা করতে একে "der", "del", অথবা "partial" উচ্চারণ করা হয়।

সাধারণভাবে, কোন ফাংশন f(x₁, …, x_n) x_i এর দিকে (a₁ …, a_n) বিন্দুতে আংশিক অন্তরজঃ

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$

উপরের পার্থক্য ভাগফলে, x_i বাদে সকল চলক নির্দিষ্ট। এই নির্দিষ্ট মান ফাংশনটিকে এক চলকে পরিণত করে।

${\displaystyle f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),}$

এবং সংজ্ঞানুসারে,

${\displaystyle {\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}).}$

অন্যভাবে, উপরের এক চলকের ফাংশনে সূচক বাছাই করাটি কেবলমাত্র একটি উদাহরণ। এই রাশিটি আরও বোঝায় যে, আংশিক অন্তরজ এক চলকের অন্তরজের হিসাবকে কমিয়ে দেয়।

বিভিন্ন ভেরিয়েবল ইউক্লিডিয়ান স্কেলার মানের একটি ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ f(x₁, ..., x_n) ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্র Rⁿ (যেমন R² অথবা R³) এ। এক্ষেত্রে f এর  একটি আংশিক অন্তরজ ∂f/∂x_j আছে যা x_j এর সাপেক্ষে।

${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$

এই ভেক্টরটিকে a তে f এর গ্রেডিয়েন্ট বলে।যদি, f ডোমেইনের সকল বিন্দুতে অন্তরীকরন্যোগ্য হয় তবে এর গ্রেডিয়েন্ট ∇f হবে একটি সদিক মানের ফাংশন যা a বিন্দুতে ∇f(a)। ফলে, গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর ফিল্ড নির্ধারণ করে.

দিকবর্তী অন্তরজ

যদি f, Rⁿ এর জন্য বাস্তব মানের কোন ফাংশন হয় তবে f এর আংশিক অন্তরজ এর স্থানাংকের অক্ষের দিকে পরিবর্তন পরিমাপ করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি f, x ও y এর ফাংশন হয় তাহলে f এর আংশিক অন্তরজ f এর x অক্ষ ও y অক্ষের দিকে পরিবর্তন নির্ণয় করে।   তারা, তবে সরাসরি যেমন তির্যক রেখা y = x  ধরে, অন্য কোন দিকে পরিমাপ করবেন না। এটি দিকবর্তী অন্তরজ ব্যবহার করে মাপা হয়। এটি একটি ভেক্টর তৈরি করে

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n}).}$

v এর দিকে একটি বিন্দু x এ f এর দিকবর্তী অন্তরজ হল লিমিট

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$

কিছু ক্ষেত্রে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য্য পরিবর্তন করার পর দিকবর্তী অন্তরজ নির্ণয় করা সহজতর হয়। প্রায়ই এটি একটি ইউনিট ভেক্টরের অভিমুখে একটি দিকবর্তী অন্তরজ নির্ণয়ের জন্য প্রায়ই করা হয়। এটা কীভাবে কাজ করে তা বোঝার জন্য ধরি, v = λu। পার্থক্য ভাগফলে h = k/λ করলে পার্থক্য ভাগফল হয়

${\displaystyle {\frac {f(\mathbf {x} +(k/\lambda )(\lambda \mathbf {u} ))-f(\mathbf {x} )}{k/\lambda }}=\lambda \cdot {\frac {f(\mathbf {x} +k\mathbf {u} )-f(\mathbf {x} )}{k}}.}$

এটা হল u  এর সাপেক্ষে বা দিকে f এর দিকবর্তী অন্তরজের জন্য পার্থক্য ভাগফল ও λ এর গুণফল। উপরন্তু, h শূন্যের কাছাঁকাভহির জন্য সীমা ও k  শূন্যের কাছাকাছির জয় সীমা নেওয়া একই কথা কারণ h ও k একে অপরকে গুণ করে। তাই, D_v(f) = λD_u(f)। এই বৈশিষ্ট্যের জন্য দিকবর্তী অন্তরজকে প্রায়ই শুধুমাত্র একক ভেক্টরের জন্য বিবেচনা করা হয়। 

যদি f এর সকল আংশিক অন্তরজ বিদ্যমান থাকে তবে তা x এ অবিচ্ছিন্ন তাই তারা এই সূত্র দিয়ে v এর দিকে f এর দিকবর্তী অন্তরজ নির্ণয় করেঃ

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$

এটি পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞার একটি ফল। এট আনির্দেশ করে যে, দিকবরতী অন্তরজ v তে রৈখিক। অর্থাৎ,  D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f)।

একই সংজ্ঞা কাজ করে যখন f, R^m এর মানের একটি ফাংশন হয়। উপরের সংজ্ঞাটি ভেক্টরের প্রত্যেক উপাংশে প্রয়োগ করা হয়। এক্ষেত্রে, দিকবর্তী অন্তরজটি R^m এর ভেক্টর হয়।

পূর্ণ অন্তরজ, পূর্ন অন্তরীকরণ ও জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স

যখন একটি ফাংশন f, Rⁿ থেকে R^m এর উপসেট হয় তখন নির্দিষ্ট দিকে f এর দিকবর্তী অন্তরজ হয় এর সেই দিকে সেই বিন্দুতে f এর সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান। কিন্তু যখন n > 1,  হয় তখন কোন একক দিকবর্তী অন্তরজই f এর বৈশিষ্টের পূর্ণ ছবি দিতে পারে না। পূর্ণ অন্তরজ একবারেই সকল দিক বিবেচনা করে f এর বৈশিষ্টের পূর্ণ ছবি দিতে পারে। এটা a বিন্দুতে শুরু এমন কোন ভেক্টর v জন্য রৈখিক অণুমানের সূত্র খাটে।

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$

এক চলকের অন্তরজের মত f ′(a) ধরা হয় যার ফলে ত্রুটি যথাসম্ভব ক্ষুদ্র হয়।

যদি n এবং m একই হয় তাহলে অন্তরজ f ′(a) হবে একটি সংখ্যা ও রাশি f ′(a)v হবে দুটি সংখ্যার গুনফল। কিন্তু উচ্চতর-মাত্রার জন্য f ′(a) কে একটি সংখ্যা হওয়া অসম্ভব। যদি তা একটি সংখ্যা হয় তবে f ′(a)v, Rⁿ এর একটি ভেক্টর হবে ফলে অন্যান্য পদগুলি R^m এ ভেক্টর হবে এবং যার কারণে সূত্রটি কোন কাজ করবে না। রৈখিক অণুমানের সূত্রটিকে কাজ করতে হলে f ′(a) কে অবশ্যই ফাংশন হতে হবে যা Rⁿ থেকে R^m এ ভেক্টর পাঠাবে এবং f ′(a)v অবশ্যই v বিন্দুতে নির্ণীত ফাংশন বোঝাবে।

এটা কি ধরনের ফাংশন তা নির্ধারণ করার জন্য লক্ষ্য করুন যে, রৈখিক অণুমানের সূত্রকে লেখা যায়

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$

লক্ষ্য করুন যদি আমারা একটি ভেক্টর w নিই তবে  v কে w দ্বারা প্রতিস্থাপন করার মাধ্যমে এই আনুমানিক সমীকরণ আরেকটি আনুমানিক সমীকরণ নির্ণয় করে। এটা v কে w এবং a কে a+v দ্বারা উভয়কেই প্রতিস্থাপন করার মধ্যমে তৃতীয় আনুমানিক সমীকরণ নির্ণয় করে। নতুন সমীকরণ  দুটি বিয়োগ করে আমারা পাই

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\approx f'(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\mathbf {w} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .}$

যদি আমরা ধরি v খুব ছোটো এবং অন্তরজ a তে ক্রমাগত পরিবর্তনশীল তাহলে f ′(a + v) প্রায় f ′(a) এর সমান এবং ডানপক্ষ প্রায় শূন্যের কাছাকাছি। বাম্পক্ষকে রৈখিক অণুমানের সূত্র v কে v + w দিয়ে প্রতিস্থাপম করে ভিন্নভাবে লেখা যেতে পারে। রৈখিক অণুমানের সূত্র বোঝায়ঃ

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\approx f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )+f(\mathbf {a} )\\&=(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )-f(\mathbf {a} ))-(f(\mathbf {a} +\mathbf {w} )-f(\mathbf {a} ))\\&\approx f'(\mathbf {a} )(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} -f'(\mathbf {a} )\mathbf {w} .\end{aligned}}}$

এটা বোঝায় যে f ′(a) হল ভেক্টর ক্ষেত্র Rⁿ থেকে R^m এর এর মধ্যে একটি রৈখিক রূপান্তর। বস্তুত, এই অণুমানে ভুল পরিমাপ দ্বারা সুনির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা সম্ভব। ধরি যে, রৈখিক অণুমানের ভুল একটি ধ্রুবক ও ||v|| এর দ্বারা নির্দিষ্ট হয় যেখানে, ধ্রুবকটি v এর উপর অনির্ভর্শীল কিন্তু a এর উপর পর্যায়ক্রমে নির্ভর্শীল। তাহলে, একটি উপযুক্ত ভুল সংক্রান্ত পদ যুক্ত করার পর উপরের সব অণুমানের/আসন্ন সমতাগুলো অসমতায় রূপ নেয়। বিশেষ করে, f ′(a) হল ক্ষুদ্র ত্রুটির জন্য একটি রৈখিক অণুমান। সীমাতে v ও w শূন্যের কাছে পৌছালে এতী অবশ্যই একটি রৈখিক অণুমান হবে। যেহেতে আমরা পূর্ণ অন্তরজে v কে শূন্যের কাছাকাছি ধরে নিয়েছি তাই f ′(a) অবশ্যই একটি রৈখিক অণুমান হবে।

এক চলকের ক্ষেত্রে, অন্তরজ প্রকৃতপক্ষে পার্থক্য ভাগফলের লিমিট দ্বারা সূচিত সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান। যদিও, পার্থক্য ভাগফল উচ্চ মাত্রার ক্ষেত্রে কাজ করতে পারে না কারণ স্বাভাবিকভাবে ভেক্টরকে ভাগ করা সম্ভব না। বিশেষ করে, পার্থক্য ভাগফলের হর ও লব একই ভেক্টর ক্ষেত্র না। ভেক্টর স্থানঃ: লবটি কোডোমেইন R^m এ অবসস্থান করে যখন হরটি ডোমেইন Rⁿ এ। উপরন্তু, অন্তরজটি একটি রৈখিক রূপান্তর, লব ও হর উভয় থেকে বস্তুর একটি ভিন্ন ধরনের হয়। সুনির্দিষ্ট ধারণা করতে f ′(a) হল একটি রৈখিক রূপান্তর, এই সমস্যা মিটানোর জন্য প্রয়োজন এক-পরিবর্তনশীল চলকের অন্তরজের জন্য একটি ভিন্ন সূত্র মানানো। যদি, f : R → R, হয় তাহলে, অন্তরজের স্বাভাবিক সংজ্ঞা নিক্ষুতভাবে দেখাতে পারে যে a তে f এর অন্তরজ f ′(a) একটি অনন্য সংখ্যা যেমন

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}}=0.}$

একইভাবে,

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0}$

কারণ, ফাংশনটির সীমার শূন্যের কাছে পৌছায় যদি ও কেবল যদি পরমমানের সীমা শূন্যের কাছে পৌছায়। এই সর্বশেষ সূত্রটি পরম মান প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে অনেক পরিবর্তনশীল চলকের পরিস্থিতির উপযোগী করা যেতে পারে।

f এর a তে পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞা হল মৌলিক রৈখিক রূপান্তর f ′(a) : Rⁿ → R^m যেন

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )-f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} \rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$

যেখানে h হল Rⁿ এ একটি ভেক্টর, তাই হরে পরমমান হল Rⁿ এর জন্য আদর্শ দৈর্ঘ্য। যদিও f′(a)h, R^m এ একটি ভেক্টর এবং লবে পরমমান হল R^m এ আদর্শ দৈর্ঘ্য। যদি v, a বিন্দুতে শুরু কোন ভেক্টর হয় তবে  f ′(a)v কে বলা হয় f এর দ্বারা v এর "pushforward" এবং কখনো একে f_∗v লিখা হয়।

যদি a তে পূর্ণ অন্তরজ থাকে তবে f এর a তে সকল আংশিক অন্তরজ ও দিকবর্তী অন্তরজ থাকে এবং যেকোন v এর জন্য f ′(a)v হল v এর দিকে f এর দিকবর্তী অন্তরজ। যদি আমরা f কে স্থানাংক ব্যাবস্থার ফাংশনে লিখি তবে f = (f₁, f₂, ..., f_m), তাহলে পূর্ণ অন্তরজকে ম্যাট্রিক্স হিসেবে আংশিক অন্তরজ দিয়ে প্রকাশ করা যাবে। এবং এই ম্যাট্রিক্স কে বলা হয় f এর a তে জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স।

${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$

পূর্ণ অন্তরজ f′(a) এর অস্তিত্ত অন্যান্য আংশিক অন্তরজের অস্তিত্তের চেয়ে শক্তিশালী কিন্তু যদি আংশিক অন্তরজ থাকে এবং তা অবিচ্ছিন্ন হয় তাহলে জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স অনুযায়ী পূর্ণ অন্তরজ বিদ্যমান থাকে ও a এর উপর ধারাবাহিকভাবে নির্ভর করে।

পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞা এক চলকের অন্তরজের সংজ্ঞাকেও অন্তর্ভুক্ত করে। তা হল, যফি f কোন বাস্তব চলক ও বাস্তব মানের ফাংশন হয় তবে পূর্ন অন্তরজ বিদ্যমান থাকবে যদি ও কেবল যদি স্বাভাবিক অন্তরজ বিদ্যমান থাকে। জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স ১x১ ম্যাট্রিক্সে হ্রাস করা হয় যার শুধুমাত্র একটি ভুক্তি হল f′(x)। এই ১x১ ম্যাট্রিক্স f(a + h) − f(a) − f ′(a)h এর মান যে শূন্যের কাছাকাছি তা প্রকাশ করে, অন্যভাবে

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h.}$

এই বিবৃতি, চলকের মান পরিবর্তন পর্যন্ত যে এই ফাংশন  ${\displaystyle x\mapsto f(a)+f'(a)(x-a)}$ হল f এর a তে  সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান।

একটি ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ এক-পরিবর্তনশীল চলকের ক্ষেত্রে একই ভাবে আরেকটি ফাংশন দেয় না। একটি বহুচলকের ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ একটি একক পরিবর্তনশীল ফাংশনের ডেরিভেটিভ চেয়ে অনেক বেশি কিছু তথ্য ধারণ করে। এর পরিবর্তে, পূর্ণ অন্তরজ টার্গেটের স্পর্শকগুচ্ছ উৎস থেকে একটি ফাংশন দেয়।

দ্বিতীয়, তৃতীয় ও উচ্চতর-মাত্রার পূর্ণ অন্তরজের স্বাভাবিক এনালগ একটি রৈখিক রূপান্তর নয় ও স্পর্শকগুচ্ছে কোন ফাংশন নয় এবং বারবার পূর্ণ অন্তরজ গ্রহণ করে নির্নীত হয় না। উচ্চ-মাত্রার অন্তরজের এনালগকে জেট বলে যা কোন রৈখিক রূপান্তর হতে পারে না কারণ উচ্চ-মাত্রার অন্তরজ সূক্ষ জ্যামিতিক তথ্য প্রদান করে যেমন অবতলতা যা ভেক্টর হিসেবে রৈখিক তথ্য ও শর্তাবলী দ্বারা বর্ণনা করা যাবে না। স্পর্শকগুচ্ছের ওপর এটা ফাংশন হতে পারে না কারণ স্পর্শকগুচ্ছের শুধুমাত্র বেস স্থান ও দিকবর্তী অন্তরজের জন্য সুযোগ আছে। কারণ জেট উচ্চ-মাত্রার তথ্য ধারণ করে তারা স্থানাংকে অতিরিক্ত আর্গুমেন্ট নিয়ে কোন দিকে উচ্চ-মাত্রার পরবর্তন নির্দেশ করে। এই অতিরিক্ত স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্ধারিত স্থানকে জেট গুচ্ছ বলা হয়। একটি ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ ও আংশিক অন্তরজের মধ্যে সম্পর্ক হল ফাংশনটির k তম জেট ও k বা তার চেয়ে কম মাত্রার আংশিক অন্তরজের সম্পর্কের মত।

বারবার পূর্ণ অন্তরজ গ্রহণ করে কেউ R^p এর বিশেষ Fréchet অন্তরজের উচ্চতর সংস্করণ গ্রহণ করতে পারে। kতম পূর্ণ অন্তরজকে একটি ম্যাপ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে

${\displaystyle D^{k}f:\mathbb {R} ^{n}\to L^{k}(\mathbb {R} ^{n}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})}$

যা Rⁿ এ একটি বিন্দু x নেয় এবং Rⁿ to R^m এ k-রৈখিক ক্ষেত্রে একটি উপাদান নির্ধারণ করে– f এর কোন একটি বিন্দুতে "সর্বোচ্চ" (একটি সুনির্দিষ্ট অর্থে) k-রৈখিক অণুমান। তির্যক/ক্রস ম্যাপ Δ, x → (x, x) দ্বারা রচনার মাধ্যমে একটি সাধারণ টেলর সিরিজ হিসাবে কাজ শুরু হতে পারে

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {x} )&\approx f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x} )+(D^{2}f)(\Delta (\mathbf {x-a} ))+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+(Df)(\mathbf {x-a} )+(D^{2}f)(\mathbf {x-a} ,\mathbf {x-a} )+\cdots \\&=f(\mathbf {a} )+\sum _{i}(Df)_{i}(\mathbf {x-a} )^{i}+\sum _{j,k}(D^{2}f)_{jk}(\mathbf {x-a} )^{j}(\mathbf {x-a} )^{k}+\cdots \end{aligned}}}$

যেখানে f(a) ধ্রুব ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত, রৈখিক রূপান্তর হিসেবে (x − a)ⁱ হল x − a ভেক্টরের উপাংশ এবং (D f)_i এবং (D² f)_{j k} হল D f ও D² f এদের উপাংশ।

সিদ্ধান্ত

অন্তরজের ধারণাকে অন্যান্য ক্ষেত্রে বর্ধিত করা যেতে পারে। সাধারণ যোগসূত্রটি হল কোন ফাংশনের কোন বিন্দুতে অন্তরজ সেই বিন্দুতে ফাংশনটির রৈখিন আনুমান হিসাবে কাজ করে।

• জটিল চলকের জটিল ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ সিদ্ধান্ত যেমন জটিল সংখ্যা C থেকে(ডোমেইন)  C পর্যন্ত ফাংশন। এরকম ফাংশনের অন্তরজ সম্পর্কে ধারণা পেতে জটিল চলকের পরিবর্তে নিয়ম অনুসারে বাস্তব চলক বসিয়ে পাওয়া যায়। যদি C, R² এর সাথে একরূপ হয় তবে x + i y আকারের জটিল সংখ্যা z এর জন্য C থেকে C তে অন্তরীকরণযোগ্য কোন ফাংশন অবশ্যই R² থেকে R² এর ফাংশন হিসেবে অন্তরীকরণযোগ্য হবে (তার সকল আংশিক অন্তরজ বিদ্যমান অর্থে) কিন্তু, বিপরীতটার জন্য সত্য না; জটিল অন্তরজ শুধুমাত্র তখনই বিদ্যমান থাকবে যদি বাস্তব অন্তরজ জটিল রৈখিক হয় এবং এটি আংশিক অন্তরজের মধ্যে একটি সম্পর্ক আরোপ করে যাকে বলে কসি-রিম্যান সমীকরণ-  দেখুন হলমরফিক ফাংশন।
• অন্য একটি সিদ্ধান্ত হল অন্তরীকরণযোগ্যতা ও সুষম প্রতিলিপি এর মধ্যে। নির্দিষ্ট করে বলা যায় একটি প্রতিলিপি হল এমন একটি ক্ষেত্র  যা একটি ভেক্টর ক্ষেত্র দ্বারা প্রতিটি বিন্দু x এর কাছাকাছি অণুমান করা যেতে পারে যাকে তার স্পর্শক ক্ষেত্র বলে; প্রাথমিক উদাহরণ হল R³ তে একটি সুষম তল। M এর কোন বিন্দু x এ অন্তরীকরণযোগ্য ম্যাপ f: M → N এর অন্তরজ এর প্রতিলিপি হল f(x) এর  N এ M এর x বিন্দুতে একটি রৈখিক ম্যাপ। M ও N এর স্পর্শক গুচ্ছের মধ্যে অন্তরজ ফাংশনটি একটি ম্যাপ হয়। এই সংজ্ঞাটি অন্তরক জ্যামিতিতে একটি মূলনীতি এবং এর অনেক ব্যবহার আছে – দেখুন "pushforward" (অন্তরক) and "pullback" (অন্তরক জ্যামিতি).
• অন্তরীকরণকে ম্যাপের জন্য অসংখ্যমাত্রিক ভেক্টর স্থানের জন্য Banach spaces ও Fréchet spaces হিসেবে বলা যায়। এখানে দিকবর্তী অন্তরজ উভয়ের জন্যই একটি সিদ্ধান্ত আছে যাকে Gâteaux অন্তরজ বলে এবং অন্তরীকরণকে বলে Fréchet অন্তরজ।
• চিরায়ত অন্তরজের একটি সীমাবসসধতা হল অনেক ফাংশন অন্তরীকরনযোগ্য না। তথাপি এখানে অন্তরজের ধারণাকে প্রসারিত করার একটি পথ আছে যাতে সব চলমান ফাংশন ও আন্যান্য ফাংশনকে দূর্বল অন্তরজ নামে একটি ধারণা ব্যবহার করে অন্তরীকরণ করা যেতে পারে। এই ধারণাটিকে ডিস্ট্রিবিউশন স্থান নামক বৃহত্তর স্থানের ফাংশনের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় এবং কেবলমাত্র ফাংশনটিকে গড়ে অন্তরীকরনযোগ্য হতে হয়।
• অন্তরজের ধর্ম বীজগণিত ও টোপোলজি তে অনেক বিষয়কে সাদৃশ্য সূচনা করে ও সম্বৃদ্ধ করে। —দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, অন্তরজ বীজগণিত।
• অন্তররীকরণের বিচ্ছিন্ন সমতুল্যতা হল সসীম পার্থক্য। অন্তরীকরণ ক্যালকুলাসের চর্চা সময় ভিত্তিক অন্তরজ এ নির্দিষ্ট পার্থক্যের অন্তরজের সাথে সমন্বয় সাধন করে।
• আরও দেখুন পাটিগণিতীয় অন্তরজ

আরও দেখুন

• অন্তরজের ব্যবহার
• স্বয়ংক্রিয় অন্তরজ
• অন্তরীকরনযোগ্যতা শ্রেনী
• অন্তরীকরনের নিয়ম
• ডিফারিন্ট্রিগ্রাল
• ফ্র্যাক্টাল ডেরিভেটিভ
• অন্তরজের এর সিদ্ধান্ত
• হ্যাসের অন্তরজ
• ক্যালকুলাসের ইতিহাস
• যোগজ
• ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র
• রৈখিকরণ
• গাণিতিক বিশ্লেষণ
• গুণাত্নক বিপরীত
• সংখ্যাসূচক অন্তরীকরণ
• র‍্যাডম-নিকোডিম উপপাদ্য
• প্রতিসম অন্তরজ
• শোয়ার্জিয়ান অন্তরজ

তথ্যসূত্র

1. Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources.
2. Spivak 1994, chapter 10.
3. Apostol 1967, §4.18
4. In the formulation of calculus in terms of limits, the du symbol has been assigned various meanings by various authors.
5. Burton, D. (2011).
6. This can also be expressed as the adjointness between the product space and function space constructions.

ওয়েব পাতা

• Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
• Weisstein, Eric W., "Derivative", MathWorld.
• Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.
• Derivatives of Trigonometric functions ওয়েব্যাক মেশিনে আর্কাইভকৃত ২৪ জুলাই ২০১৬ তারিখে, UBC