Числата на Бернули представляват редица от рационални числа
, открита от Якоб Бернули във връзка с изчислението на сумата на последователните естествени числа, вдигнати на една и съща степен:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/795caf8fea4261b3dde9d334eab8efa6bb642337)
![{\displaystyle \displaystyle {B_{0}=1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228c0e8ab418af5845ab8ea34ad6e9878af1f0cd) |
![{\displaystyle B_{1}=-{\frac {1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8982bce0738687e083472e7325342874d7cde88c) |
![{\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54446f5ccc1e013fec667481c73c81749743751b) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{3}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6485cbc0893cecc9c6fbcc63e3ab9a3b1af260) |
![{\displaystyle B_{4}=-{\frac {1}{30}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c35dc32d38cfa24b06f67df7aae4874a098275) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{5}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8618c5dc7d1afe7f5ec04ae0c1967becaeb4963) |
![{\displaystyle B_{6}={\frac {1}{42}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0370b3b900badaee8b963e49a82ca03d88ed03) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{7}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6522bbaa77f5daca346f4f705250f49714008df4) |
![{\displaystyle B_{8}=-{\frac {1}{30}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f84a1da96686eb369a1a9b1e73617523dc0583) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{9}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b050a16449ca370e29926241b5b6f8652923a304) |
![{\displaystyle B_{10}={\frac {5}{66}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9ed836c07c17d016d385f16d0e3d9ea6e23779) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{11}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baf3c3431f750635ceeaa6580e8b46f679b7e206) |
![{\displaystyle B_{12}=-{\frac {691}{2730}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43198ab57c0e9e600f1edd27374f6da45ff2d32) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{13}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd77a94be9b21a7ecf0a005de8a6d285907740e) |
![{\displaystyle B_{14}=1{\frac {1}{6}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14eedc16cc3e42047e37e6a082ef2cc03f735309) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{15}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c72e020d244ef4c20d8f37e69b59279b4319179) |
![{\displaystyle B_{16}=-7{\frac {47}{510}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e384761acdea118118f9e0304fa7eadaa8b26963) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{17}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648816c7e32d60df16394451d8328265a0c5bd1a) |
![{\displaystyle B_{18}=54{\frac {775}{798}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbd322e89825b59ae924346b149272563151d04) |
![{\displaystyle \displaystyle {B_{19}=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bbd805b0c0d0d504306f4d10100b74e5c43836) |
![{\displaystyle B_{20}=-529{\frac {41}{330}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd6e10571c2d239afdc5476a3342212695db6cb) |
където
е биномен коефициент.
За числата на Бернули съществува следната рекурсивна формула:
![{\displaystyle \displaystyle {B_{0}=1\;,}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860c997831611bccd54406e220ef426f942d05ad)
![{\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5877229b74f325ddc0768c5eb49732b78af0e3)
Получаването на числата на Бернули от Дзета-функцията на Риман.
- Всички нечетни числа на Бернули, с изключение на
, са равни на нула, а знаците на четните числа се редуват.
- Числата на Бернули се използват като променливи в полиномите на Бернули.
при
:
![{\displaystyle \displaystyle {B_{n}=B_{n}(0)\;.}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b3357592e22153f5faacf2f92f1d9554d3deb7)
- Числата на Бернули често служат като коефициенти за разлагане на елементарни функции в степенни редове:
,
,
.
- Ойлер установява връзка между числата на Бернули и променливите в Дзета-функцията на Риман ζ(s) за четни s = 2k:
![{\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346c11e12c8b8d862341fd16b34ead306641aba1)
- Също така:
за всички естествени числа n, по-големи от 1.
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9126dabba2102315455c63140f709a903fa134f)