Преобразование на Фурие

Преобразуване на Фурие разлага функция във времето (сигнал) на честотите, които я съставляват. В началото се дефинира за абсолютно интегрируеми функции, а посредством теоремата на Планшерел и за по-общи функции. Използва се като важен инструмент в хармоничния анализ и теорията на диференциалните уравнения.

Преобразуване на Фурие

Нека ${\displaystyle f}$ е функция с период ${\displaystyle 2\pi }$, която разглеждаме като функция, дефинирана в интервала ${\displaystyle \mathbb {T} =[0,2\pi )}$. С ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$ означаваме банаховото пространство от функции ${\displaystyle f}$, за които е изпълнено ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|f(t)|dt<\infty .}$

Преобразуването на Фурие ${\displaystyle {\hat {f}}}$ се дефинира чрез интеграла ${\displaystyle {\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-2\pi int}dt,n\in \mathbb {Z} }$. Комплексното число ${\displaystyle {\hat {f}}(n)}$ се нарича n-ти фуриеров коефициент или n-та честота на ${\displaystyle f}$.

Преобразуване на Фурие за n-мерно пространство

Нека ${\displaystyle f}$ е функция от банаховото пространство ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, което съдържа всички абсолютно интегруеми функции върху ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Преобразуването на Фурие се дефинира чрез интеграла ${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(t)e^{-2\pi i\langle \omega ,t\rangle }}$.

Ако разглеждаме функциите ${\displaystyle f}$ от хилбертовото пространство ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, т.е. всички фунцкии, за които ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(t)|^{2}dt<\infty }$, можем да дефинираме Преобразуването на Фурие като линеен оператор ${\displaystyle {\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$, за който е изпълнено следното

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}f={\hat {f}},f\in L^{1}\cap L^{2}}$,
• ${\displaystyle \|{\mathcal {F}}f\|_{L^{2}}=\|f\|_{L^{2}}}$.

Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за Преобразуване на Фурие, дефинирано в ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$.

Преобразуване на Фурие за обобщени функции

Нека ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$, а ${\displaystyle \mu \in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ е обобщена функция. Тогава преобразуването на Фурие ${\displaystyle {\hat {\mu }}}$ се дефинира като обобщената функция, дефинирана чрез равенството ${\displaystyle \langle f,\mu \rangle =\langle {\hat {f}},{\hat {m}}\rangle }$.

Свойства на коефициентите на Фурие

Коефициентите на Фурие имат следните свойства:

• ${\displaystyle {\widehat {f+g}}(n)={\hat {f}}(n)+{\hat {g}}(n)}$ за ${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {T} )}$;
• ${\displaystyle {\widehat {cf}}(n)=c{\hat {f}}(n)}$ за ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$;
• ${\displaystyle {\hat {\bar {f}}}(n)={\overline {{\hat {f}}(n)}}}$ за ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$;
• Ако означим ${\displaystyle f_{\tau }(t)=f(t-\tau ),\tau \in \mathbb {T} }$, то ${\displaystyle {\hat {f}}_{\tau }(n)={\hat {f}}(n)e^{-int}}$ (транслация се преобразува в модулация);
• Ако означим ${\displaystyle f^{m}(t)=e^{2\pi imt}f(t),m\in \mathbb {Z} }$, то ${\displaystyle {\hat {f}}^{m}(n)=f(n-m)}$ (модулация се преобразува в транслация);
• ${\displaystyle {\widehat {(f\ast g)}}(n)={\hat {f}}(n)\cdot {\hat {g}}(n)}$ (конволюция се преобразува в произведение);
• Оценка на коефициентите: ${\displaystyle |{\hat {f}}(n)|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }|f(t)|dt.}$

Непрекъснатост

Ако ${\displaystyle f_{j}\in L^{1}(\mathbb {T} ),j\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle \|f_{j}-f_{0}\|_{L^{1}}\rightarrow 0}$, то ${\displaystyle {\hat {f}}_{j}(n)}$ клони равномерно към ${\displaystyle {\hat {f}}_{0}(n)}$ за всяко n.

Сходимост

Сходимостта се изразява чрез лемата на Риман-Лебег.

За всяка функция ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ е изпълнено ${\displaystyle \lim _{|n|\to \infty }{\hat {f}}(n)=0}$.