Лемниската на Бернули

Лемниска̀та на Бернули е лемниската, представляваща равнинна алгебрична крива от четвърта степен, която се дефинира геометрично като множество на точките в равнина ${\displaystyle \alpha }$, произведенията на чиито разстояния до два фокуса в ${\displaystyle \alpha }$ са равни на квадрата на половината от разстоянието между двете точки (${\displaystyle a^{2}}$).

Лемниската на Бернули

Уравнения и свойства

Кривата има следните формулни представяния:

• Уравнение в декартови координати: ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-2a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)\,=\,0}$
• Уравнение в полярни координати: ${\displaystyle r=a{\sqrt {2\cos(2\varphi )}}}$
• Параметрично уравнение: ${\displaystyle x={\frac {a{\sqrt {2}}\cos t}{1+\sin ^{2}t}};\qquad y={\frac {a{\sqrt {2}}\sin t\cos t}{1+\sin ^{2}t}}}$

Лицето на областта, заградена от лемнискатата на Бернули е ${\displaystyle S=2a^{2}}$. Декартовите координати на фокусите са ${\displaystyle F_{1}(-a{\sqrt {2}};0)}$ и ${\displaystyle F_{2}(a{\sqrt {2}};0)}$.

Лемнискатата на Бернули е частен случай на овала на Касини. Може да се получи при сечение на тор с равнина, успоредна на оста на ротация на тора и съдържаща допирателна към вътрешния му отвор.

Лемнискатата на Бернули може да се представи и като цисоида на две окръжности.

История

Якоб Бернули е дефинирал тази крива през 1694 г., но не е осъзнавал връзката ѝ с овала, който Джовани Касини вече е дефинирал 14 години преди това. Поради приликата ѝ с полегналата цифра 8, кривата може да бъде срещната и като „осмица“. През 1750 г. Джулио ди Фаняно намира формулата за лицето на кривата. За времето си задачата за квадратурата на крива, състояща се от няколко „листа“, е считана за нерешима, затова на титулната страница на публикацията въодушевеният ди Фаняно пише „Измерена с многократно деление. Слава на истинския бог“ ("Multifarum divisa atque dimensa. Deo veritatis gloria").

В практиката лемнискатата на Бернули се използа например при трамвайни релси, когато са необходими закръгляния с малък радиус.

Вижте също

• Лемниската
• Лемниската на Буут
• Лемниската на Героно

Източници

• „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
• „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х
• „Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
• The Penguin Dictionary of Mathematics, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

Външни препратки

• Страница за лемниската на Бернули на сайта на Система Mathematica
• Лемниската на Бернули в xahlee.org
• Интерактивно изображение на Java на лемнискатата на Бернули