Конволюция

Конволюция (от лат. convolutus, pp. от convolvere – оплитам, усуквам) между две функции се нарича интегралът

${\displaystyle s(t)=f(t)*g(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau ){\rm {d}}\tau }$,

където ${\displaystyle f\,}$ и ${\displaystyle g\,}$ са функции, интегрируеми в интервала ${\displaystyle \{+\infty ,-\infty \}}$, а знакът ${\displaystyle *\,}$ бележи конволюция.

Конволюцията се среща често, когато се използва преобразование на Фурие, тъй като при преобразование на Фурие произведението на две функции се трансформира в конволюция на индивидуалните трансформации на двете функции. С други думи ако ${\displaystyle {\hat {f}}\,}$ и ${\displaystyle {\hat {g}}\,}$ образите на функциите ${\displaystyle f\,}$ и ${\displaystyle g\,}$, то за трансформацията на тяхното произведение е в сила следното равенство

${\displaystyle {\widehat {f\cdot g}}={\hat {f}}*{\hat {g}}.}$

Конволюцията може да бъде както между функции на една променлива, така и между функции на няколко променливи. Тогава за всяка променлива ${\displaystyle \tau _{i}\,}$ се въвежда съответно отместване ${\displaystyle t_{i}\,}$ и се интегрира по всяка променлива ${\displaystyle {\rm {d}}\tau _{i}\,}$. Например за функции на две променливи пълната конволюция е

${\displaystyle f(x,y)*g(x,y)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x-\xi ,y-\zeta )g(\xi ,\zeta ){\rm {d}}\xi {\rm {d}}\zeta }$

Интерпретация

Конволюция на две правоъгълни функции

За интуитивно разбиране на същността на конволюцията помага следната интерпретация. Едната функция, например ${\displaystyle f\,}$ се инвертира (${\displaystyle f(x)\rightarrow f(-x)}$) и се отмества спрямо другата на отстояние ${\displaystyle t\,}$ и се изчислява определения интеграл от произведението между отместената и неотместената функция. Резултатът е стойността на конволюцията за даденото отместване между двете функции. За различна стойност на отместването ${\displaystyle t\,}$ конволюцията има различна стойност, т.е. конволюцията е функция на отместването.

На графиката е дадена за пример конволюцията между две правоъгълни функции, зададени чрез

${\displaystyle f(t)=g(t)={\begin{cases}1\quad t\in [-0,5;0,5]\\0\quad t\notin [-0,5;0,5]\end{cases}}.}$

Когато отместването между двете функции е под -1 интервалите, в които те са с ненулева стойност, не се застъпват, следователно произведението им е равно на 0 и интегралът също има стойност 0. Когато отместването стане -1 интервалите, в които функциите имат ненулева стойност се застъпват и стойността на конволюцията започва да расте. В жълто е оцветено застъпването между двете функции. Стойността на конволюцията е равна на площта на оцветената в жълто област. Когато отместването стане равно на нула интегралът придобива максималната стойност, равна на 1. От там насетне стойността му намалява до нула за отместване 1. За по-големи отмествания стойността на конволюцията е 0.

Свойства на конволюцията

Комутативност

${\displaystyle f*g=g*f\,}$

Асоциативност

${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h\,}$

Дистрибутивност

${\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h\,}$

Асоциативност със скаларен параметър

${\displaystyle a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,}$

Ако ${\displaystyle \delta \,}$ импулсната функция на Дирак, която се дефинира като

${\displaystyle \delta (t)={\begin{cases}\infty \ &t=0\\0&t\neq 0\end{cases}}\quad$ ;\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (t){\rm {d}}t=1,}

в сила е следното равенство

${\displaystyle f*\delta =f\,}$

Приложения

Конволюцията намира приложение в много математически, инженерни и физични задачи.

• В теорията на линейните системи изходният сигнал на линейна инвариантна система може да бъде описан като конволюция между входния сигнал и импулсната характеристика на системата. Импулсна характеристика се нарича изходният сигнал на системата, ако входният сигнал е безкрайно кратък импулс.
• В оптиката ако предмет хвърля сянка върху екран, формата на сянката може да се представи като конволюция между формата на източника на светлина и формата на предмета. В този случай конволюцията се дефинира в две измерения.
• При цифрова обработката на изображения конволюцията се използва в алгоритми за намиране на контурите на обекти.