Диференциал (математика)

Диференциал е понятие в математическия анализ, въведено от Лайбниц и Бернули като описание на така наречените „безкрайно малки величини“ и „безкрайно малки промени“. Лайбниц и Бернули въвеждат означението ${\displaystyle \mathrm {d} x\,}$ за диференциал на променливата ${\displaystyle x\,}$. Понятието диференциал, което на времето се е считало за едно от основните понятия на диференциалното и интегралното смятане, днес играе второстепенна роля в анализа. В известен смисъл, особено що се отнася до диференциалното смятане на функциите на една променлива, може да се каже, че неговото въвеждане изобщо не е необходимо. Понятието производна се оказва напълно достатъчно, за да бъдат формулирани всички по-съществени резултати от тази част на анализа.

Вижте пояснителната страница за други значения на диференциал.

---

Нека ${\displaystyle f(x)\,}$ е функция, дефинирана в някоя околност на дадена точка ${\displaystyle x\,}$. Изменението на стойността на дадена величина може да се означи с ${\displaystyle \Delta x}$.

• Производната по дефиниция е границата на диференчното частно, когато ${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$. Това позволява производната, която е равна по дефиниция на:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}$

Диференциалът се дефинира като:

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)=a*f'(x)}$ където  ${\displaystyle a}$ е параметър

В случая ${\displaystyle f(x)=x}$ получаваме:

${\displaystyle dx=a}$ и от тук:

${\displaystyle df(x)=f'(x)*dx}$ което може да се запише и като частно:

${\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}$

Това понятие се обобщава за функции с n реални променливи по следния начин:

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}}$ където обаче символът ${\displaystyle {\partial y \over \partial x_{i}}}$ е неделим, т.е. не може да се интерпретира като частно макар по формата си да напомня на такова.

• Това обозначение е удобно и при интегралното смятане. С израза:

${\displaystyle \int f(x)\,{\mathrm {d} }x}$

се дава вярна представа за интеграла като сума от безкрайно малки изменения на функцията.

Интерпретация

Ако гледаме на диференциала като на функция на променливата ${\displaystyle h\,}$, то той може да се интерпретира като приближение на нарастването на ${\displaystyle f\,}$ около точката ${\displaystyle x\,}$ със свойството:

${\displaystyle \mathrm {d} f(x)=f'(x)\cdot h=(f(x+h)-f(x))+{\hbox{o}}(h).}$

Литература

• Математический анализ: Введение в анализ, производная, интеграл. Справочное пособие по высшей математике. Т.1, И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, Г. П. Головач, Едиториал УРСС, 2001

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.