Число на Ферма

Число на Ферма́ е число от вида ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$, където ${\displaystyle n\geqslant 0}$.

При ${\displaystyle n=0,1,2,3,4,5...}$ се образува поредицата:

3, 5, 17, 257, 65 537, 4 294 967 297, …

Наречени са на френския математик Пиер дьо Ферма, който пръв изказва хипотезата, че всички те са прости числа. Тази хипотеза обаче е опровергана от Леонард Ойлер в 1732 г., който намира прости множители в следващото число на Ферма:

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417}$

Обобщение на числото на Ферма е число от вида ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$. Числата на Ферма са при ${\displaystyle a=2}$ и ${\displaystyle b=1}$. Диференчното уравнение се дава с ${\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1}$ при ${\displaystyle n\geqslant 1}$. След 3 и 5 числата на Ферма завършват на 7.

Просто число на Ферма

Известни са само 5 прости числа.^[1]

${\displaystyle F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3}$,

${\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5}$,

${\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17}$,

${\displaystyle F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257}$,

${\displaystyle F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537}$.

Следващите известни числа на Ферма вече са съставни, като към средата на 2019 г. са известни 305 съставни числа на Ферма и 349 различни техни делители.^[2] Хипотезата, че прости са само първите 5 члена от поредицата, остава недоказана.

Връзка с построението на многоъгълници

Брой страни (до 1000) на известните построими многоъгълници

През 1798 г. Карл Фридрих Гаус описва теорията на гаусовите периоди в труда си „Аритметични разследвания“ и формулира достатъчно условие за построение с линийка и пергел на правилен многоъгълник без да публикува доказателство. Пълното доказателство е дадено от Пиер Ванцел през 1837 г. и става известно като теоремата на Гаус-Ванцел:

Един правилен n-ъгълник може да бъде построен с линийка и пергел, ако и само ако n е произведение на степен на 2 и различни прости числа на Ферма, т.е. ако и само ако n е във вида n = 2^kp₁p₂…p_s, където k е неотрицателно цяло число, а p_i са различни прости числа на Ферма.

Източници

1. Fermat Divisors
2. Wilfrid Keller, Prime factors k·2n+1 of Fermat numbers and complete factoring status (acc. date July 20, 2019).