Симплекс

Симплекс е обобщено математическо понятие за най-простата геометрична фигура в n-мерното пространство. Геометрически може да бъд представен като множество от ${\displaystyle (n+1)}$ точки, всяка от които е свързана с всички останали точки. n-Симплекс може да се построи от (n-1)-симплекс чрез добавяне на нова точка по n-тото измерение и свързването ѝ с всички останали върхове на (n-1)-симплекса.

Образуване на симплекс от нулево до четвърто измерение

${\displaystyle n}$-мерни симплекси

${\displaystyle n}$	име
0	точка
1	отсечка
2	триъгълник
3	тетраедър
4	петоклетъчник
5	шестопетичник

Тази статия е за геометричното понятие. За симплекс в комуникациите вижте симплексна връзка.

---

Свойства

• Един n-мерен симплекс има ${\displaystyle n+1}$ върха, всеки ${\displaystyle k+1}$ от които образуват k-мерно лице.

• По-специално, броят на k-измерните лица в n-симплекс е равен на биномния коефициент ${\displaystyle {\tbinom {n+1}{k+1}}.}$
• По-специално, броят на лицата на най-високото измерение съвпада с броя на върховете и е равен на ${\displaystyle n+1}$.

• Обемът на n-симплекс се намира с интеграла:

${\displaystyle \int \cdots \int \;dx_{1}\cdots dx_{n}={\frac {h^{n}}{n!}}}$,^[1] където ${\displaystyle h}$ е височината на симплекса.

• Ориентираният обем на n-симплекс в n-мерното евклидово пространство може да се определи по формулата

${\displaystyle V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0}).}$

• Детерминантата на Кели – Менгер позволява да се изчисли обема на симплекс, като се знаят дължините на неговите ръбове:

${\displaystyle V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1\\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}},}$

където ${\displaystyle d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|}$ е разстоянието между i-тия и j-тия връх, n е измерението на пространството. Тази формула е обобщение на формулата на Херон за триъгълници.

• Обемът на правилен n-симплекс с единична страна е ${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}}$.

• Радиусът ${\displaystyle R}$ на описаната n-мерна сфера удовлетворява съотношението ${\displaystyle (R\cdot V)^{2}=T,}$

където ${\displaystyle V}$ е обемът на симплекса и

${\displaystyle T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}.}$