– диференциален оператор набла, векторно умножен по векторно поле . Резултатът от действието на оператора „ротация“ върху конкретно векторно поле се нарича „ротация на полето “ или просто „ротация от “ и представлява ново векторно поле .
Ротацията представлява безкрайно малко въртене на векторно поле в триизмерното евклидово пространство. Във всяка точка на векторното поле извивката около точката се изразява като вектор, наречен вектор на извивката. Свойствата (дължина и посока) на този вектор характеризират въртенето в тази точка.
Посоката на завихрянето е оста на въртене, която се определя от правилото на дясната ръка, а големината на завихрянето е количеството на въртене. Ако векторното поле представлява скоростта на потока на движещ се ротор, тогава завихрянето е плътността на циркулационната площ на ротора. Векторно поле с нулево извиване се нарича иротационно векторно поле. Ротацията е диференциална форма на вектор. Противоположността на фундаменталната теорема на смятането е теоремата на Стокс, която свързва повърхностния интеграл на завихрянето на векторно поле с криволинейния интеграл на това векторно поле около гранична крива.
За разлика от градиента и дивергенцията, ротацията не просто се обобщава към други измерения; възможно е известно обобщение, но само в три измерения, където геометрично дефинираното векторно поле на ротацията все още е векторно поле. Това явление е подобно на триизмерното кръстосано произведение и тази връзка е отразена в символа на завихрянето .
Името „завихряне“ () за ротация е предложено за първи път от Максуел през 1871 г. [2], но концепцията очевидно е използвана за първи път във формулирането на теорията на оптичното поле на Джеймс МакКълах през 1839 г. [3]
За да се дефинира завихрянето (ротацията) на векторно поле, първо трябва да се въведе понятието циркулация (или вихър). Дадено е векторно поле в триизмерно пространство и проста затворена насочена крива , циркулацията на по кривата е криволинеен интеграл от по затворения път : [4]
,
където е линеен елемент на кривата по допирателната към нея, а положителната ѝ посока е определена така, че площта, оградена от затворената крива е от лявата му страна. Например, ако има водовъртеж в посока обратна на часовниковата стрелка в реката на брега на реката, тогава в обхвата на водовъртежа водният поток се върти около центъра на водовъртежа, така че скоростта на водата следва затворена крива около вихъра обратно на часовниковата стрелка. Интегралът трябва да е по-голям от нула, т.е. циркулацията е по-голяма от нула. Това показва, че полето на скоростта на водния поток във вихъра се върти в кръгове в обхвата на вихъра.
Циркулацията, подобно на потока, е важен параметър за описание на векторно поле. Циркулацията в дадена област не е равна на нула, което означава, че векторното поле в тази област проявява характеристиката да се върти около определена точка или определена област. Ротацията е начин да се опише това свойство локално. За да се опише циркулацията на векторно поле близо до точка, се избира малък повърхностен елемент , включващ тази точка и се разглежда циркулацията на векторното поле по дължината на граничната крива . [5] Когато повърхностният елемент се свие и площта клони към нула, векторното поле е по протежение на пръстена и повърхностния елемент на .
Граничната стойност на съотношението на циркулацията на векторното поле по контура към площта, заградена от него на панела е [4]
.
Нарича се плътност на циркулационната площ, повърхностна плътност на циркулация или сила на циркулация на векторното поле . Очевидно, тъй като посоката [Забележка 2], избрана от повърхностния елемент е различна, получената плътност на циркулационната площ също се изменя. За да се покаже степента на въртене на векторното поле в близост до точка, трябва да се покаже неговата максимална възможна стойност и посоката, избрана от съответния сърфел. Завихрянето на векторно поле е вектор. Размерът на неговата проекция в една посока представлява размерът на повърхностната плътност на пръстена в тази посока. Тоест ротацията на в една точка се записва като или : [4]
.
Тук се отнася до повърхностния елемент, чийто нормален вектор е единичният вектор и има неговата посока, а е граничната крива на елемента. Ако се представи от оператора набла, ротацията на векторното поле се записва . Може да се види от дефиницията, че ротацията е свойство на интензитет на векторното поле, точно като плътност, концентрация и температура, и съответното му свойство на разширение е векторното поле по обиколката по затворена крива, така че извивката е повърхностната плътност на циркулацията. Ако извивката навсякъде във векторно поле е нула, полето се нарича иротационно поле или консервативно поле. [4]
Нека в триизмерната правоъгълна (декартова) координатна система векторното поле е
,
където са единични вектори съответно в посоките на òсите ,, и компонентите на полето имат непрекъснати частни производни от първи ред, тогава проекциите върху всяка координатна ос са:
.
Векторът на ротацията се нарича още кривина на векторното поле и се записва в основната форма
Изразът за ротацията може също да бъде изразен в детерминантна нотация:
Трябва да се отбележи, че нотацията на детерминантата тук има само формално значение, тъй като коефициентите в реалната детерминанта трябва да бъдат стойности вместо векторите . Този метод на представяне е удобен само за запаметяване на израза за ротацията в декартовата координатна система. [6]
В цилиндричната координатна система позицията на обекта се определя от две линейни и една ъглова координати: напречните са , а надлъжната е . Те определят неговите единични вектори: напречен радиален , напречен азимутален и надлъжен . Тогава векторът на полето има компоненти и може да се изрази като:
В сферичната координатна система позицията на обекта се определя от една линейна и две ъглови координати (азимут и ъгъл на място ). Те определят неговите единични вектори: , и . Векторът на полето има компоненти и може да се изрази като:
.
Аналогично ротацията на векторното поле се определя от израза [6]
Обикновено, на равнината след тази точка, ограничената част, включваща точката, се избира като сърфел. За удобство на следващите дефиниции обикновено се приема, че граница на тази част е проста затворена насочена крива.