Оператор на Д'Аламбер

В специалната теория на относителността, електромагнетизма и теорията на вълните, операторът на Д'Аламбер (обозначаван с кутийка: ${\displaystyle \Box }$), също наричан Д'Аламбертиан или вълнов оператор, е лапласиан в пространството на Минковски. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик Жан льо Рон д'Аламбер.

В пространство на Минковски и в стандартни координати (t, x, y, z) операторът има следната форма:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

Тук ∇² е триизмерен лапласиан, а g^μν е обратната метрика на Минковски с

${\displaystyle g_{00}=1}$, ${\displaystyle g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1}$, ${\displaystyle g_{\mu \nu }=0}$ for ${\displaystyle \mu \neq \nu }$.

Трябва да се отбележи, че показателите за сума на μ и ν са в диапазона от 0 до 3. Взети са такива единици предвид, че скоростта на светлината c = 1.

Някои автори също така използват отрицателната метрична сигнатура от (− + + +), с ${\displaystyle g_{00}=-1,\;g_{11}=g_{22}=g_{33}=1}$.

Трансформациите на Лоренц оставят метриката на Минковски инвариантна, така че Д'Аламбертианът дава Лоренцов скалар. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерциална система.

Алтернативна нотация

Има различни нотации за Д'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа ${\displaystyle \Box }$: четирите страни на квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и ${\displaystyle \Box ^{2}}$, който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича квабла (по аналогия с набла). Придържайки се към триъгълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆_M.

Друг начин за изписване на Д'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в квантовата теория на полето, където частните производни обикновено се индексират.

Приложение

Вълновото уравнение за малки вибрации има вида:

${\displaystyle \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,}$

където u(x,t) е преместването.

Вълновото уравнение за електромагнитно поле във вакуум е:

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$,

където A^μ е електромагнитният 4-потенциал.

Уравнението на Клайн – Гордън има вида:

${\displaystyle (\Box +m^{2})\psi =0~}$.

Функция на Грийн

Функцията на Грийн ${\displaystyle G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$ за Д'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:

${\displaystyle \Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

където δ(~x−~x') е многоизмерната делта функция на Дирак, а ~x и ~x' са две точки в пространството на Минковски.

Специално решение се получава от забавената функция на Грийн, която съответства на разпространението на сигнал само напред във времето:

${\displaystyle G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)~~~}$^[1],

където Θ е функцията на Хевисайд.

Запис в криволинейни координати

Операторът на Д'Аламбер в сферични координати:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u}{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}$

в цилиндрични координати:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};}$

в общи криволинейни координати (за пространство-време):

${\displaystyle \square u\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{\mu \nu }{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),}$

където ${\displaystyle g}$ е детерминанта на матрицата ${\displaystyle \|g_{\mu \nu }\|}$, съставена от коефициентите на метричния тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$.

Вижте също

• 4-градиент

Източници

1. S. Siklos. The causal Green’s function for the wave equation // Архивиран от оригинала на 2016-11-30. Посетен на 17 август 2017.

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата d'Alembert operator и страницата „Оператор Д’Аламбера“ в Уикипедия на английски и руски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за творби, създадени преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на техните съавтори. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.