Магнитен момент

Магнитен момент (също магнитен диполен момент) най-общо е вектор характеризиращ магнитните свойства на дадено обемно разпределение на електрически ток. Магнитният диполен момент на стационарен (постоянен) ток протичащ през малък затворен обем ${\displaystyle dV}$ (напр. малък проводников контур) може да се сравни с електрическия диполен момент на електрически дипол (двойка статични заряди разположени на малко разстояние ${\displaystyle {\vec {dl}}}$ един от друг). Магнитният момент на обемно разпределен постоянен ток с токова плътност ${\displaystyle {\vec {J({\vec {r}})}}}$ се дефинира като:

${\displaystyle {\vec {m({\vec {r'}})}}={\frac {1}{2}}\int _{(V)}({\vec {r'}}-{\vec {r}})\times {\vec {J({\vec {r}})}}dV,[Am^{2}]}$,

където ${\displaystyle {\vec {r'}}}$ е вектор от началото на приетата координатна система до точката в която се изчислява момента, а ${\displaystyle {\vec {r}}}$ е вектор от началото на координатната система до началото на вектора на токовата плътност ${\displaystyle {\vec {J}}}$ протичаща през обем ${\displaystyle dV}$.

Магнитен момент на магнитен дипол (магнитен диполен момент)

Илюстрация поясняваща изчисляването на магнитния момент на произволно обемно разпределение на постоянен ток I.

Магнитен диполен момент.

Магнитният дипол е безкрайно малък затворен проводников контур през който протича ток. Понятието се използва за описване свойствата на магнитните материали. Магнитният дипол може да се моделира с реален кръгов контур от достатъчно тънък проводник и малък радиус. Магнитният момент на такъв кръгов контур се записва като:

${\displaystyle {\vec {m}}=\pi r^{2}I{\vec {n}}=IS{\vec {n}}}$,

където ${\displaystyle I}$ е кръговия ток, ${\displaystyle r}$ е радиуса на контура, ${\displaystyle S}$ е площта на кръга и ${\displaystyle {\vec {n}}}$ е единичния вектор перпендикулярен на повърхността на контура с посока определена по правилото на десния винт (виж илюстрацията). Магнитен диполен момент на атомите

Електрон движещ се по окръжност с радиус r.

Магнитният диполен момент на атома е свързан с орбиталното движение на електроните около атомното ядро, както и с въртенето на последните около собствената им ос (спин на електроните). Поради квантовите явления в атома, магнитният момент не може да се измери. Възможно е да се измери само проекцията на последния върху дадена ос, която е прието да се означава с ${\displaystyle z}$. Проекцията на орбиталния магнитен момент се записва като:

${\displaystyle \mu _{z}=-m_{l}{\frac {eh}{4\pi m_{e}}}}$,

където ${\displaystyle m_{l}}$=0,±1,±2....,±${\displaystyle l}$ е магнитното квантово число,

${\displaystyle l}$ е орбиталното квантово число,

${\displaystyle e=1.602176462\cdot 10^{-19}C}$ е заряда на електрона,

${\displaystyle h=6.62606876\cdot 10^{-34}J\cdot s}$ е константата на Планк

${\displaystyle m_{e}=9.10938188\cdot 10^{-31}kg}$ е масата на електрона.

Величината

${\displaystyle \mu _{B}={\frac {eh}{4\pi m_{e}}}=9.27\cdot 10^{-24}J/T}$

се нарича магнетон на Бор. Така за орбиталния магнитен диполен момент може да се запише:

${\displaystyle \mu _{z}=-m_{l}\mu _{B}}$

Освен този момент, както беше споменато, електроните имат също спинов магнитен диполен момент ${\displaystyle \mu _{s}}$:

${\displaystyle \mu _{s,z}=\mp \mu _{B}}$

В многоелектронните атоми, електроните образуват двойки с противоположни спинове, при което техните собствени магнитни моменти взаимно се компенсират. Някои атоми съдържат и несдвоени електрони (атоми с нечетен брой електрони) и поне един некомпенсиран спинов магнитен диполен момент. Магнитният момент на атома е векторна сума от орбиталните и спиновите магнитни моменти на всички електрони. Протоните и неутроните също имат магнитни диполни моменти, но те са много по-малки от електронните. Магнетизмът на атомите се дължи преди всичко на електроните.

Ако се приеме опростения класически модел на атома, електроните извършват кръгово движение около неподвижното атомно ядро. На илюстрацията е показан електрон, който се движи със скорост ${\displaystyle v}$ по окръжност с радиус ${\displaystyle r}$. Периодът на въртене на електрона е

${\displaystyle T={\frac {2\pi r}{v}}}$, [s]

Ефективният ток на електрона се получава като се раздели заряда на електрона на периода на въртене:

${\displaystyle I={\frac {e}{T}}={\frac {ev}{2\pi r}},[A]}$

Магнитният диполен момент на този ефективен кръгов ток е:

${\displaystyle {\vec {p_{m}}}={\vec {\mu }}=IS{\vec {n}}={\frac {ev}{2\pi r}}\pi r^{2}{\vec {n}}={\frac {1}{2}}evr{\vec {n}}}$

Моментът на импулса на електрона спрямо точка О (атомното ядро) е

${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times m_{e}{\vec {v}}=-m_{e}vr{\vec {n}}}$

Така се получава:

${\displaystyle {\vec {\mu }}=-{\frac {e}{2m_{e}}}{\vec {L}}}$

Знакът минус показва противоположните посоки на ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ и ${\displaystyle {\vec {L}}}$.

От друга страна от квантовата механика е известно, че стойностите на ${\displaystyle L_{z}}$ са целочислено кратни на ${\displaystyle h/(2\pi )}$:

${\displaystyle L_{z}=m_{l}{\frac {h}{2\pi }}}$

Така се получава орбиталния магнитен диполен момент:

${\displaystyle \mu _{z}=-m_{l}{\frac {eh}{4\pi m_{e}}}}$

Източници

• Максим Максимов,. Физика, част II, Електричество и магнетизъм. Вълни и частици. Булвест 2000, 2006.
• Hoerst Stoecker. Taschenbuch der Physik. Harri Deutsch, 2005.
• Nathan Ida. Engineering Electromagnetics. Springer, 2004.
• S. Brandt, H.D. Dahmen. Elektrodynamik. Springer, 2005.