Граница на редица

В математиката, граница на редица от елементи на метрично пространство или топологично пространство е елемент от същото пространство, който има свойството да „привлича“ елементи от дадена последователност.^[1] Ако такава граница съществува, редицата е сходяща. Ако редицата не е сходяща, то тя е разходяща. Граница на редица е фундаментално понятие, на което почива целия математически анализ.^[1]

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Докато положителното цяло число ${\displaystyle n}$ расте, стойността на ${\displaystyle n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ става все по-близка до ${\displaystyle 1}$. Тоест, границата на редицата ${\displaystyle n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ е ${\displaystyle 1}$.

Граница на числова редица

Граница на дадена числова редица ${\displaystyle (a_{n})}$ е число ${\displaystyle l}$ точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число ${\displaystyle \epsilon >0}$ може да се намери такова число N(ε), че всички членове а_n на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |а_n – l| < ε за всички n > N(ε).

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(a_{n})=l}$

По-интуитивно определение е следното: Дадено число ${\displaystyle l}$ е граница на числовата редица ${\displaystyle (a_{n})}$, ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът ${\displaystyle (l-\epsilon ,l+\epsilon )}$ за произволно ${\displaystyle \epsilon >0}$) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Свойства на сходящите редици

• Ако редиците (a_n), (b_n) и (c_n) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}-\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}.b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}.\lim _{n\to \infty }b_{n}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}.}$

за b_n ≠ 0 и ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$ ≠ 0.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}$ за c = const.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(c_{1}a_{n}+c_{2}b_{n})=c_{1}\lim _{n\to \infty }a_{n}+c_{2}\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

при с₁ = const, c₂ = const.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\log _{b}a_{n}=log_{b}a}$ при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

${\displaystyle lim_{n\to \infty }{a_{n}}^{p}=a^{p}}$ при а > 0 и произволно р.

По-общо определение за сходяща редица

• За редица от точки ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$ в метрично пространство M с функция-дължина d (например, редица от рационални числа, реални числа, комплексни числа, точки в нормирано пространство, и др.):

Ако ${\displaystyle L\in M\;}$ казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall \epsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow d(x_{n},L)<\epsilon .\;}$

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяко реално число ${\displaystyle \epsilon >0\;}$, съществува естествено число N такова, че за всяко ${\displaystyle n>N\;}$ е изпълнено ${\displaystyle d(x_{n},L)<\epsilon .\;}$

• Като обобщение на горното за редица от точки ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$ в топологично пространство T:

Ако ${\displaystyle L\in T\;}$ казваме, че L е граница на редицата и го означаваме с

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

${\displaystyle \Longleftrightarrow \forall U(L)\;\exists N\in \mathbb {N}$ :\forall n>N\;x_{n}\in U(L)}

т.е.: тогава и само тогава, когато за всяка околност S на L съществува естествено число N такова, че ${\displaystyle x_{n}\in S\;}$ за всяко ${\displaystyle n>N.\;}$

Ако една редица има граница, казваме, че е сходяща или че редицата клони към някаква граница. В противен случай редицата е разходяща.

Примери

• Редицата 1, -1, 1, -1, 1, ... е разходяща.
• Редицата 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... е сходяща и има граница 1. Това е пример за безкраен ред.
• Ако a е реално число с абсолютна стойност |a| < 1, то редицата aⁿ клони към 0. Ако 0 < a ≤ 1, то редицата a^1/n клони към 1.

Още:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0}$ при p > 0.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0}$ при |a| < 1.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1}$.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1}$ при a > 0.

Източници

1. Courant, Richard. Differential and Integral Calculus. Т. 1. Glasgow, Blackie & Son, Ltd., 1961. с. 29.