Eкстремум

Eкстремум (от латински: extremum – „краен“) в математиката е максималната или минималната стойност на функцията в дадено множество. Тази точка може да е бъде както локален екстремум, така и глобален екстремум.

Локален и глобален максимум и минимум на функцията cos(3πx)/x, 0.1≤ x ≤1.1

Определение

Ако е дадена функцията ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$, за която ${\displaystyle x_{0}\in M^{0}}$, тогава:

• ${\displaystyle x_{0}}$ се нарича точка на локален максимум на функцията ${\displaystyle f,}$ ако съществува прекъсната част ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$ такава, че

  ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});}$

• ${\displaystyle x_{0}}$се нарича точка на локален минимум на функцията ${\displaystyle f,}$ ако съществува прекъсната част ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$ такава, че

  ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).}$

Определение за локален екстремум

Ако дефиниционното множество на една функция е интервал, обикновено той може да се раздели на подинтервали, във всеки от който функцията е растяща или намаляваща. Сега да разгледаме поведението на функцията в точка, разделяща два съседни интервала, в които тя от растяща става намаляваща и обратното. В първия подинтервал на снимката функцията намалява, в следващия расте и т.н. Точките, където функцията от растяща става намаляваща и обратното са екстремуми. В достатъчно малка околност на тези точки няма други стойности на функцията, които да са съответно по-малки (по-големи, в когато става въпрос за максимум, а не за минимум) от стойността на функцията в тази точка.

Локален минимум

Функцията ${\displaystyle f(x)}$ има локален минимум в точка ${\displaystyle x=c}$ от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност ${\displaystyle (c-\epsilon ;c+\epsilon )}$, с ${\displaystyle \epsilon >0}$ от дефиниционната област на ${\displaystyle f}$, в която няма стойноси на ${\displaystyle f}$, по-малки от ${\displaystyle f(c)}$, т.е. ${\displaystyle f(x)\geq f(c)}$ за ${\displaystyle x}$ принадлежащо на ${\displaystyle (c-\epsilon ;c+\epsilon )}$, с ${\displaystyle \epsilon >0}$.

Локален максимум

Функцията f(x) има локален максимум в точка x = c от дефиниционната си област, когато може да се намери достатъчно малка околност (c – ε; c + ε), с ε>0 от дефиниционната област на f, в която няма стойности на f, по-големи от f(c), т.е.

f(x) =< f(c) за x принадлежащо на (c – ε; c + ε), с ε>0.

Необходимо условие за локален екстремум

Ако функцията f(x) има екстремум в дадена точка и е диференцируема в тази точка, първата ѝ производна в тази точка е равна на нула.

Достатъчно условие за локален екстремум

Ако функцията f(x) е два пъти диференцируема в околност на точката x = x₀, при което f'(x₀) = 0, а f''(x₀) е различно от 0, като f''(x) е непрекъсната в тази точка, функцията има екстремум в точката x = x₀ – минимум, когато f''(x₀) > 0 и максимум, когато f''(x₀) < 0.

Източници

1. Учебник по математика за 12 клас, профилирана подготовка, издателство „Просвета“