Хиперкуб

В геометрията хиперкуб е n-мерен аналог на квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Представлява затворен изпъкнал геометричен обект, състоящ се от взаимно перпендикулярни във всяко от n-те му измерения елементи от първа до (n-1)-ва размерност (отсечки, равнини и пространства).

Конструкция на хиперкуб от n=0 до n=4

Алгебричната му дефиниция е следната: хиперкуб с дължина на страната 2a и център в точката (ξ₁,ξ₂,...,ξ_n) се състои от всички точки, които удовлетворяват неравенството |x_i – ξ_i| ≤ a, i = 1,2,...,n.

Конструкция на хиперкуб

Математически хиперкубът се конструира лесно:

• Точката може да се разглежда като хиперкуб от нулева размерност.
• Ако точката бъде транслирана (придвижена) по права линия с дължина a, се получава отсечка – хиперкуб с единична размерност.
• Ако отсечката бъде транслирана на разстояние a в перпендикулярна на нея посока, се образува квадрат – хиперкуб с размерност 2.
• Ако квадратът се транслира до успоредна на неговата равнина (в тримерното пространство) на разстояние a под ъгъл перпендикулярен на равнината, се получава куб – хиперкуб с размерност 3.
• Ако кубът се транслира на разстояние a в посока от четиримерното пространство, перпендикулярна на всеки от трите му ръба, се получава тесеракт, или хиперкуб в четиримерното пространство.
• И т.н.

Фамилията хиперкубове е една от малкото сред правилните политопи, които могат да се представят във всяко n-мерно пространство.

Елементи

Хиперкуб от размерност n е ограничен от 2n елемента от размерност (n-1): отсечката е ограничена от две точки; квадратът е ограничен от 4 отсечки, кубът – от 6 квадрата за стени, тесерактът – от 8 куба, наричани също и „клетки“. Броят върхове (точки) на хиперкуб от размерност n е 2ⁿ (например, кубът има 2³ = 8 върха).

Броят на граничните елементи от размерност m съдържащи се в един n-мерен хиперкуб е равен на ${\displaystyle 2^{n-m}{n \choose m}.}$ Например, тесерактът се състои от 8 куба (клетки), 24 квадрата (стени), 32 отсечки (ръба) и 16 точки (върха).

• Различни перспективи към 4-мерен хиперкуб
• 
• 
• 

Елементи на хиперкуба

Размерност n	Име	Върхове (0-гранични елементи)	Ръбове (1-гранични елементи)	Стени (2-гранични елементи)	Клетки (3-гранични елементи)	(4-гранични елементи)	(5-гранични елементи)	(6-гранични елементи)	(7-гранични елементи)	(8-гранични елементи)
0	Точка	1
1	Отсечка	2	1
2	Квадрат	4	4	1
3	Куб (Хексаедър)	8	12	6	1
4	Тесеракт (Октахорон)	16	32	24	8	1
5	Пентеракт	32	80	80	40	10	1
6	Хексеракт	64	192	240	160	60	12	1
7	Хептеракт	128	448	672	560	280	84	14	1
8	Октеракт	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	Енеракт	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Хиперкубът в компютърните архитектури

В компютърните науки, терминът „хиперкуб“ се отнася до специфичен вид компютър за паралелни изчисления, чиито процесори са свързани по същия начин, по който са свързани с ръбове върховете на хиперкуба. Този вид мрежова топология осигурява компромис между сложността на свързване и дължината на пътя на съобщението.

Вижте също

• Демихиперкуб
• Хиперректангул
• Ортоплекс

Външни препратки

• Страница за хиперкуба на сайта на Система Mathematica (с изображения на хиперкубове до n = 7)
• „Хиперкубове“, Джонатан Бауен Архив на оригинала от 2008-06-30 в Wayback Machine.
• Конструиране на тесеракт и сечението му с тримерно пространство
• Анимиран тесеракт
• Речник на хиперпространствените термини