Тетраедър

Тетраедърът е вид многостен с формата на триъгълна пирамида. Името му означава четиристен (на старогръцки: τετράεδρον: τέσσαρες / τέσσερες / τέτταρες / τέττορες / τέτορες „четири“ + ἕδρα „седалище, основа“ ^[1]). Има четири стени, 4 върха и 6 ръба.^[2] Неговите разновидности могат да имат различна степен на симетрия, а тя е най-висока при правилния тетраедър (фиг. 1), чиито стени са равностранни триъгълници.

Фиг. 1. Анимация на правилен тетраедър

Фиг. 2. Описана сфера около тетраедър

По-ниска симетрия имат:

• правилната триъгълна пирамида: трите стени са равнобедрени триъгълници, а основата – равностранен;
• тетрагонален, ромбичен, дигонален и обикновен дисфеноид;
• усукан тетраедър;
• правоъгълен тетраедър: три ръба към един връх са перпендикулярни по двойки – съответните стени са правоъгълни триъгълници.

Обем на тетраедър

Ако четирите върха са точките, означени A, C, D и O (фиг. 2), то обемът на тетраедъра е:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|det({\overrightarrow {AO}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}})\right|}$

Ако основата е триъгълник ${\displaystyle CDO}$ с площ ${\displaystyle B}$ и височината на тетраедъра е ${\displaystyle AH=h}$, то обемът му е:

${\displaystyle V={\frac {Bh}{3}}}$

Определения и свойства

Фиг. 3. Елементи на тетраедър.

• Стена на тетраедъра е част от равнина, ограждаща неговия обем. Стените на тетраедъра са триъгълници. Общата права на две съседни стени се нарича ръб (фиг. 3).
• Съседни ръбове са тези, които започват от обща точка, наречена връх на тетраедъра. Три съседни ръба лежат в една равнина и определят границите на една стена.
• Противоположни ръбове (непресичащи се или кръстосани ръбове) са тези, които нямат обща точка (връх) и не лежат в една равнина. Те са част от две кръстосани прави: ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BD}$ (фиг. 3).
• Двойни медиани или бимедиани на тетраедър са отсечките, свързващи средните точки на неговите непресичащи се ръбове (зелените отсечки на фиг. 3).
• Двойни височини или бивисочини на тетраедър са общите перпендикуляри на два от неговите противоположни ръбове.

Фиг. 4. Разделяне на тетраедър на две части с равни обеми чрез средно сечение успоредник.

• Сечение от равнина, минаваща през средите на четири ръба на тетраедър, е успоредник (фиг. 4).
• Равнината, минаваща през средите на всеки два пресичащи се ръба на тетраедъра, го разделя на две части с еднакъв обем (фиг. 4). ^{[3]:с. 216-217}
• Бимедианите на тетраедър се пресичат в същата точка ${\displaystyle M}$ (фиг. 4) като медианите на тетраедър (диагоналите на червеното сечение на фиг. 3), която се нарича медицентър или център на тежестта на тетраедъра.
• Теорема на Лайбниц за центъра на тежестта на тетраедър (фиг. 5):
  

За медицентъра ${\displaystyle P}$ на тетраедър ${\displaystyle ABCD}$ и произволна точка ${\displaystyle X}$ е изпълнено равенството ^[4] ${\displaystyle AX^{2}+BX^{2}+CX^{2}+DX^{2}=4XP^{2}+AP^{2}+BP^{2}+CP^{2}+DP^{2}}$, или ${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2}}$.

• Равнините, които минават през средата на ръба и са перпендикулярни на противоположния ръб, се пресичат в една точка (ортоцентър).
  

Ортоцентър в симплекс се дефинира като пресечна точка на хиперравнини, които са перпендикулярни на ръба и минават през центъра на тежестта на противоположния елемент. На фиг. 5 точка ${\displaystyle P}$ е ортоцентър на стените ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle BCD}$ – пресечна точка на височините ${\displaystyle AS_{1}}$ и ${\displaystyle AS_{2}}$. В общия случай за произволен тетраедър височините от четирите върха не се пресичат в една точка.

Фиг. 5. Теорема на Лайбниц за медицентър на тетраедър.

Фиг. 6. Ойлерова права линия на тетраедър ${\displaystyle US}$.

• Ойлерова права линия. За общ тетраедър ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ Ойлерова права на ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ (по аналогия с двумерния случай на триъгълника) се нарича правата линия ${\displaystyle e({\mathcal {T}})\subset \mathbb {R} ^{3}}$, която минава през центъра на тежестта ${\displaystyle S({\mathcal {T}})}$ на ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ и центъра ${\displaystyle U({\mathcal {T}})}$ на описаната сфера около ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ (фиг. 6). ^[5]
  • Центърът на тежестта на тетраедъра ${\displaystyle S}$, центърът на описаната сфера ${\displaystyle U}$, центърът ${\displaystyle F}$ на сферата, която минава през центровете на тежестта на стените на тетраедъра, и ортоцентърът ${\displaystyle P}$ лежат на Ойлеровата права, като ${\displaystyle US=SP=3\cdot SF}$.
  • Центърът на сферата ${\displaystyle K}$, вписана в комплементарния тетраедър, центърът на сферата ${\displaystyle N}$, вписана в антикомплементарния тетраедър, центърът на тежестта на тетраедъра ${\displaystyle S}$ и центърът на вписаната сфера ${\displaystyle I}$ лежат на същата права линия.
• Нека точка ${\displaystyle G_{1}}$ разделя отсечката, свързваща ортоцентъра ${\displaystyle P}$ и върха ${\displaystyle 1}$ в съотношение 1:2. Спуска се перпендикуляр от точка ${\displaystyle G_{1}}$ към стената срещу връх ${\displaystyle 1}$, който я пресича в точка ${\displaystyle W_{1}}$. Точките ${\displaystyle G_{1}}$ и ${\displaystyle W_{1}}$ лежат върху сфера (сфера на Фойербах), която минава през центровете на тежестта на стените на тетраедъра.
• Успоредни равнини, минаващи през три двойки пресичащи се ръбове на тетраедъра, определят паралелепипеда, описан около тетраедъра.
• Центровете на сферите, които минават през трите върха и вписания център, лежат върху сфера, чийто център съвпада с центъра на описаната сфера. Това твърдение е вярно и за външни центрове.

Видове тетраедри

Равностенен тетраедър

 Основна статия: Равностенен тетраедър

Равностенен тетраедър (еквиедър) е този, на който всичките стени са еднакви триъгълници. Нарича се още дисфеноид.

Основни свойства на равностенния тетраедър:

Фиг. 7. Развивка на равностенния тетраедър

• Всички стени имат равни площи и периметри.
• Тетраедърът има три оси на симетрия.
• Пресичащите се ръбове са равни по двойки.
• Височините на тетраедъра са равни.
• Тристенните ъгли са равни.
• Противоположните двустенни ъгли са равни.
• Сумата от всички двустенни ъгли е нула.
• Два равнинни ъгъла, лежащи на един и същи ръб, са равни.
• Сумата от равнинните ъгли във всеки връх е 180°.
• Развивката на тетраедъра е триъгълник или успоредник (фиг. 7).
• Общите перпендикуляри на пресичащите се ръбове са перпендикулярни по двойки.
• Средните отсечки са перпендикулярни по двойки.
• Описаният паралелепипед е правоъгълен.
• Центърът на тежестта на тетраедъра съвпада с центровете на описаната и вписаната сфера.
• Вписаната сфера се допира до лицата в центровете на окръжностите, описани около тези лица.
• Центровете на вписаните сфери лежат върху описаната сфера.

Ортоцентричен тетраедър

Ортоцентричен се нарича тетраедър, на който всички височини, спуснати от върховете към противоположните стени, се пресичат в една точка.

Свойства на ортоцентричния тетраедър:

• Височините на тетраедъра се пресичат в една точка.
• Основите на височините на тетраедъра са ортоцентровете на стените.
• Всеки два противоположни ръба са взаимно перпендикулярни.
• Сумите на квадратите на противоположните ръбове са равни.
• Отсечките, свързващи средите на противоположните ръбове, са равни.
• Произведенията на косинусите на противоположни двустенни ъгли са равни.
• Сумата от квадратите на площите на стените е четири пъти по-малка от сумата от квадратите на произведенията на противоположните ръбове.
• Окръжностите от 9 точки (окръжности на Ойлер) на всички стени на тетраедъра принадлежат на една сфера (сфера от 24 точки).
• За ортоцентричен тетраедър, центровете на тежестта, точките на пресичане на височините на стените и точките, разделящи всяка височина на тетраедъра от върха до точката на пресичане на височините в съотношение на 2:1, лежат на една сфера (сфера от 12 точки).

Правоъгълен тетраедър

Всички ръбове, съседни на един от върховете, са перпендикулярни един на друг. Правоъгълен тетраедър се получава чрез отрязване на тетраедъра с равнина от правоъгълен паралелепипед.

Рамков тетраедър

Това е тетраедър, който отговаря на някое от следните условия: ^[6]

• Съществува сфера, допираща се до всички стени;
• Сумите от дължините на пресичащите се ръбове са равни;
• Сумите на двустенните ъгли в противоположните ръбове са равни;
• Окръжностите, вписани в стените, се допират по двойки;
• Всички четириъгълници, получаващи се от развивката на тетраедъра, са описани;
• Перпендикулярите, издигнати към стените от центровете на вписаните в тях окръжности, се пресичат в една точка.

Съразмерен тетраедър

 Основна статия: Съразмерен тетраедър

Съразмерен тетраедър е този, който има равни бисочини (двойни височини).

Свойства на съразмерния тетраедър:

• Двойните височини са равни.
• Проекцията на тетраедъра върху равнина, перпендикулярна на всяка бимедиана, е ромб.
• Стените на описания паралелепипед са еднакви по големина.
• Важат следните равенства:
  ${\displaystyle 4a^{2}{a_{1}}^{2}-(b^{2}+{b_{1}}^{2}-c^{2}-{c_{1}}^{2})^{2}=4b^{2}{b_{1}}^{2}-(c^{2}+{c_{1}}^{2}-a^{2}-{a_{1}}^{2})^{2}=4c^{2}{c_{1}}^{2}-(a^{2}+{a_{1}}^{2}-b^{2}-{b_{1}}^{2})^{2},}$ където ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle c_{1}}$ са дължини на противоположни ръбове.
• За всяка двойка противоположни ръбове на тетраедър равнините, прекарани през единия от тях и средата на втория, са перпендикулярни.
• В описания паралелепипед на съизмерим тетраедър може да се впише сфера.

Инцентричен тетраедър

При този тип отсечките, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположни стени, се пресичат в една точка.

Свойства на инцентричния тетраедър:

• Отсечките, свързващи центровете на тежестта на стените на тетраедъра с противоположни върхове (медиани на тетраедъра), винаги се пресичат в една точка. Тази точка е центърът на тежестта на тетраедъра.
• Ако в последното условие се заменят центровете на тежестта на стените с ортоцентровете на стените, това ще се превърне в ново определение за ортоцентричен тетраедър. Ако те се заменят с центрове на вписани окръжности в стените, понякога наричани инцентрове, получава се определението за нов клас тетраедри – инцентрични.
• Отсечките, свързващи върховете на тетраедъра с центровете на окръжности, вписани в противоположните стени на върховете, се пресичат в една точка.
• Симетралите на ъглите на две стени, начертани към общия ръб на тези стени, имат обща основа.
• Произведенията от дължините на срещуположните ръбове са равни.
• Триъгълникът, образуван от вторите пресечни точки на три ръба, излизащи от един връх с всяка сфера, минаваща през трите края на тези ръбове, е равностранен.

Правилен тетраедър

 Основна статия: Правилен тетраедър

Правилен тетраедър се нарича равностенен тетраедър, чиито лица са правилни триъгълници (фиг. 1). Той е едно от петте платонови тела.

Ако ръбът на правилен тетраедър е с дължина ${\displaystyle a}$,

• основната повърхнина е: ${\displaystyle B={\frac {\sqrt {3}}{4}}{a^{2}}}$
• околната повърхност е: ${\displaystyle S_{ok}=3B={\frac {{3}{\sqrt {3}}}{4}}{a^{2}}}$
• пълната повърхнина е: ${\displaystyle S=4B={\sqrt {3}}a^{2}}$
• височината е: ${\displaystyle h={\sqrt {\frac {2}{3}}}a={{\sqrt {6}} \over 3}a}$
• обемът e: ${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}{a^{3}}}$ .

Основни свойства

• Всички ръбове на тетраедъра са равни по дължина,
• Всички стени на тетраедъра са еднакви равностранни триъгълници,
• Непресичащите се ръбове на правилния тетраедър са взаимно перпендикулярни.
• Правилният тетраедър е едновременно ортоцентричен, рамков, равностенен, инцентричен и съизмерим.
• Тетраедърът е правилен, ако принадлежи към два от горните видове тетраедри.
• В правилен тетраедър може да бъде вписан октаедър със съвпадане на стените, както и сфера, допираща се в стените на тетраедъра.
• Правилен тетраедър може да бъде вписан в куб по два начина и в додекаедър, като върховете му съвпадат с върховете на тези тела.

Около правилен тетраедър може да се опише сфера, като върховете му лежат на сферата, както е показано на фиг. 2. Той може също да бъде вписан и в куб (фиг. 8), като ръбовете му са различните диагонали върху срещуположни страни.

Фиг. 8. Тетраедър, вписан в куб

Обемът на тетраедъра, вписан в куб е ${\displaystyle 1/3}$ от неговия обем:

${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{3}}}$ ,

където ${\displaystyle a}$ е страната на куба. ^[7]

Бележки

1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον» // Архивиран от оригинала на 2014-12-28. Посетен на 2020-02-20.
2. Tetrahedron, Wolfram MathWorld.
3. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. – Векторная алгебра в примерах и задачах, Москва, Высшая школа, 1985.

   Тетраедър
   Автор	Гусятников П.Б., Резниченко С.В.
   Тетраедър в Общомедия

4. Христо Лесов – ТЕОРЕМА НА ЛАЙБНИЦ ЗА ТЕТРАЕДЪР И НЕЙНИ ПРИЛОЖЕНИЯ
5. Altshiller-Court, S. 77
6. В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
7. Alsina, C.; Nelsen, R. B. (2015). A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. Mathematical Association of America. p.68

Вижте също

• Правилен тетраедър
• Тетраедрално число
• Четиристен
• Триъгълник
• Пентахорон
• Пирамида
• Квадратна пирамида