From Wikipedia, the free encyclopedia
В класическата статистическа физика, теоремата за равномерно разпределение на енергията дава връзка между температурата на дадена физична система и средната стойност на нейната пълна енергия. Първоначалната идея е била, че в термодинамично равновесие, средната стойност на пълната енергия е равномерно разпределена между различните видове енергия: например, кинетичната енергия, дължаща се на праволинейното движение на дадена молекула става равна на кинетичната енергия, дължаща се на въртенето на молекулата около остта ѝ.
Тази теорема дава много количествени резултати. Също като теоремата за вириала, с нея може да изчислим средната стойност на пълната енергия, и за дадена температура да определим потенциалната енергия на системата, което ще ни позволи да изчислим специфичния топлинен капацитет на дадената физична система. Теоремата дава средните стойности и на отделните форми на енергията, като например кинетичната енергия на една молекула или потенциалната енергия на един хармоничен осцилатор. Теоремата предвижда, че при термично равновесие, средната кинетична енергия на една молекула от идеален газ е равна на (3/2)kBT, където kB е константата на Болцман, а Т е температурата. Въобще, теоремата може да бъде приложена на всяка една физична система в равновесие, независимо от нейната сложност. Теоремата може да бъде отправна точка при извода на уравнението на Клапейрон-Менделеев, закона на Дюлон-Пети, изчисляване на специфичните топлинни капацитети на твърдите тела и др. Теоремата е вярна и в рамките на релативистичната механика, което я прави полезна и при определяне на някои физични свойства на звездите, включително бели джуджета и неутронни звезди.
Въпреки че теоремата дава много точни резултати в повечето случаи, тя не е валидна за квантово-механични системи, например при ниски температури - когато енергията на дадена степен на свобода (координата) стане по-малка от енергията на нулевата точка, което квантовата механика забранява. Макроскопично проявление на този ефект е стойността на специфичния топлинен капацитет при ниски температури - той клони към нула, докато резултатът от теоремата за равномерно разпределение на енергията е, че тази величина не трябва да се изменя при такова намаление на температурата. Експерименталните резултати за стойностите на специфичния топлинен капацитет са едни от първите фактори, довели физиците на 19 век до извода, че класическата физика не е в състояние да опише всички явления на микроскопично ниво, т.е. че е необходима нова физика. Неспособността на теоремата да обясни свойствата на електромагнитното лъчение при високи честоти карат Планк да изкаже хипотезата за квантовата природа на светлината, т.е. че светлината се разпространява на малки пакети(по-късно наречени кванти или фотони), което проправя пътя за откриването и развитието на квантовата механика.
Първоначално, теоремата е гласяла, че за система в термично равновесие, средната стойност на пълната кинетична енергия е равномерно разпределена между средните стойности на отделните ѝформи (на праволинейно движение, въртене, ...). Теоремата дава количествени резултати за стойностите на тези енергии. Например, според тази теорема, средната стойност на кинетичната енергия на праволинейно движение на всеки един от атомите на даден обем инертен газ, който се намира в термично равновесие при температура T, е (Всяка степен на свобода допринася с ½kBT, а простото събиране на енергиите за трите координати на скоростта е възможно, понеже кинетичната енергия зависи от квадрата на скоростта). Като следствие от това, атомите на ксенона, който са в даден обем газ с температура T, имат по-малки средни скорости от хелиевите атоми при същата температура. Фигурата отдясно показва разпределенията на Максуел-Болцман за скоростите на частиците на различни инертни газове.
Кинетичната енергия на частица с маса m и скорост v се дава по формулата:
където vx, vy и vz са координатите на скоростта v в декартовата координатна система. Нека, H да е Хамилтониана, който може да отъждествим с енергията, понеже оттук нататък се поставяме изцяло в формализма на Хамилтон.
Тъй като кинетичната енергия зависи от квадрата на скоростта, според теоремата за равномерно разпределение на енергията, всяка една от координатите допринася с ½kBT към средната кинетична енергия, следователно, средната кинетична енергия е (3/2)kBT, както в примера с инертните газове. Ако трябва да обобщим това за кой да е идеален газ, чиито молекули не взаимодействат помежду си и се движат независимо една от друга, то тяхната пълната енергия е равна на кинетичната енергия на преместване, т.е. пълната енергия на даден идеален газ е (3/2) N kBT, където N е броят на частиците.
Оттам следва, че специфичния топлинен капацитет на идеален газ е (3/2) N kB, т.е. топлинния капацитет на един мол идеален газ е (3/2)NAkB=(3/2)R, където NA е Числото на Авогадро а R е универсалната газова константа. Тъй като R ≈ 2 cal/(мол·K), получихме, че като следствие от теоремата за равномерно разпределение на енергията, специфичния топлинен капацитет на един мол идеален газ е приблизително 3 cal/(mol·K), което се потвърждава и от експеримента[1]
Познаването на стойността на средната кинетична енергия позволява да се изчисли средно-квадратичната скорост vrms на отделните частици:
Където M = NAm е моларната маса на идеалния газ. Този резултат има много приложения, като например Закона на Греъм за ефузията, който представлява начин за обогатяване на уран[2].
Нека разгледаме енергията на въртене на молекула с главни инерчни моментиI1, I2 и I3. Енергията на въртене има следния запис:
където ω1, ω2 и ω3 са компонентите на ъгловата скорост на разглежданата молекула. По аналогия с кинетичната енергия на преместване, от равномерното разпределение на енергията следва, че в термично равновесие средната кинетична енергия на въртене на молекулата е (3/2)kBT. Оттам може да се изчисли и средно-квадратичната ъглова скорост на молекулата.[3]
Произволното въртене на молекулите в дадена система играе важна роля при релаксационните процеси в ядрено-магнитния резонанс, в частност при ЯМР-а на протеините.[4]
Равномерното разпределение на енергията се отнася не само за кинетичните, но и за потенциалната енергия на тялото: сред важните примери е хармоничния осцилатор, който описва добре системи като математични и пружинни [[[махало|махала]].
Потенциалната енергия на хармоничен осцилатор има вида:
където a е еластичността на махалото, а q е обобщена координата (напр. абсциса, ъгъл), даваща отклонението от равновесното положение. Енергията на частица с маса m и импулс p в хармоничен потенциал се записва:
От теоремата за равномерно разпределение на енергията следва, че средната енергия на осцилатора е:
Като в случая ъгловите скоби се използват, за да се обозначи средната стойност.
Този резултат е верен за всички хармонични осцилатори: математични и пружинни махала, вибрираща молекула или трептящ кръг. Системи, които могат да се моделизират с хармонични осцилатори се срещат достатъчно често. От равномерното разпределение на енергията следва, че всеки осцилатор има средна енергия kBT и следователно допринася с kB към топлинния капацитет на системата. Това свойтство може да бъде използвано за да се изведе формулата на шума на Джонсън-Найквист [5] и Закона на Дюлон и Пети за специфичния топлинен капацитет на твърдо тяло, като това приложение е много важно за развитието на идеята за равномерното разпределение на енергията.
Важно приложение на теоремата за равномерно разпределение на енергията намираме при изчисляването на специфичния топлинен капацитет на твърдите тела, чиито атоми са подредени в кристална решетка. Всеки от N-те атома в твърдото тяло трепти, като трептенето може да се разложи по трите оси на координатната система, така че твърдото тяло може да се разглежда като сбор от 3N отделни хармонични осцилатора. След като всеки осцилатор има енергия kBT, общата средна енергия на тялото е 3NkBT, а специфичния му топлинен капацитет е 3NkB.
Ако разглеждаме един мол вещество, броят атоми N e равен на Числото на Авогадро, 'NA', и използвайки формулата R = NAkB, свързнаща универсалната газова константа R и константата на Болцман kB, извеждаме закона на Дюлон и Пети за моларния специфичен топлинен капацитет на твърдите тела, който гласи, се топлинния капацитет на един мол вещество е 3R ≈ 6 cal/(mol·K).
Това е, обаче, неточно при ниски температури, поради квантовите ефекти; също така е несъвместимо и с експериментално изведения Трети закон на термонидамиката, според който топлинния капацитет клони към нула, когято температурата клони към нула. По-точни теории са разработени от Алберт Айнщайн и Питър Дебай [6].
Много други физични системи могат да бъдат моделизирани като множество взаимодействащи си хармонични осцилатори. Движението им може да бъде разложено на собствени трептения, като модите на струна или акустична кухина. За такива системи, равномерното разпределение на енергията е неприложимо, тъй като няма обмен на енергия между модите, т.е. за това приближение модите трябва да се разглеждат като невзаимодействащи си. Това показва, че за верността на теоремата е необходимо системата да притежава свойството ергодичност.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.