Модулна аритметика
система от алгебрични операции, дефинирани за остатъци при деление на фиксирано цяло положително число; система от аритметиката за цели чи / From Wikipedia, the free encyclopedia
Мòдулна аритмèтика e система от алгебрични операции, дефинирани за остатъци при деление на фиксирано цяло положително число; система от аритметиката за цели числа, където числата циклично се „закръглят“ при достигане на определена стойност – модула.
Аритметичните операции с остатъци от числа по модул на фиксирана форма образуват модулната аритметика (аритметика по модул, модуларна аритметика, или часовникова аритметика),[1][2] която се използва широко в математиката, информатиката и криптографията.[3]
Сравняването на две цели числа по модула на естественото число е математическа операция, чрез която се проверява дали две избрани цели числа дават еднакъв остатък, когато се разделят на . Всяко цяло число, когато е разделено на , дава един от възможни остатъци: число от 0 до ; това означава, че всички цели числа могат да бъдат разделени на групи, всяка от които отговаря на определен остатък, когато е разделена на . Тези групи се наричат класове остатъци по модул , а целите числа, съдържащи се в тях, се наричат остатъци по модул .
Съвременният подход към модулната аритметика е разработен от Карл Фридрих Гаус в книгата му Disquisitiones Arithmeticae, публикувана през 1801 г.
Познато използване на модулната аритметика е в
12-часовия часовник, при който денят е разделен на два 12-часови периода. Ако часът е 7:00 сега, тогава 8 часа по-късно ще бъде 3:00. Простото събиране би довело до 7 + 8 = 15, но 15:00 се чете като 3:00 на циферблата на часовника, защото часовниците се „закръглят“ на всеки 12 часа и числото на часа започва от нула, когато достигне 12. Казва се, че 15 съответства на 3 по модул 12, записано като 15 ≡ 3 (mod 12), така че 7 + 8 ≡ 3 (mod 12). По същия начин 8:00 представлява период от 8 часа и два пъти това ще даде 16:00, което се чете като 4:00 на циферблата на часовника, изписано като 2 × 8 ≡ 4 (mod 12).