Интеграл

Интегралът е един от основните оператори в съвременния математически анализ. Съществуват два основни вида интеграли, поради което понятието интеграл се разглежда по двата начина:

1. Определен интеграл: Интеграл на функцията ${\displaystyle f(x)}$ с дефиниционна област интервала ${\displaystyle [a,b]}$ и множество от стойности ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (реалните числа) е площта на функцията между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, абсцисната ос, като площта под интегрируемата координатна ос приемаме за отрицателна и изваждаме. Чрез определен интеграл се дефинира площта под функцията ${\displaystyle f(x)}$ между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.
2. Неопределен интеграл: Примитивната на функцията ${\displaystyle f(x)}$, отбелязвана често с ${\displaystyle F(x)}$. С неопределен интеграл се намира функция, чиято производна е интегрираната функция (${\displaystyle F'(x)=f(x)\forall {x}}$) в дефиниционния интервал.

Тази статия е за математическия функционал. За космическия апарат вижте ИНТЕГРАЛ.

---

Графика на интеграла на реалната функция ${\displaystyle f(x)}$ – площта от ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$.

В математическия анализ съществуват множество техники за дефиниране на интеграл, чрез които става възможно съществуването на различни класове интегруеми функции. Такива техники включват интеграли на реални, компексни и хиперкомпрексни функции; на функции с повече от една променлива; праволинеен, криволинеен, интеграл по затворени контур, площ или обем; специални инеграли като Риманов интеграл и неговото абстрактно обобщение – Лебегов интеграл и интегрални преобразувания.

История

Опити за интегриране са били правени още в древността, но в края на XVII век Нютон и Лайбниц създават основните правила на интегрирането. През XIX век Коши, Вайерщрас и др. допринасят за изграждането на математическия анализ, част от който е интегрирането, на строга логическа основа.

Същност

Нека ${\displaystyle J}$ е произволен интервал и ${\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} =\left(-\infty ,\infty \right)}$ е зададена функция. Тъй като ${\displaystyle f}$ е диференцируема и следователно непрекъсната в ${\displaystyle J}$, примитивната на функцията, ${\displaystyle F}$, следва също да е непрекъсната в ${\displaystyle J}$.

Ако функцията ${\displaystyle F:J\rightarrow \mathbb {R} }$ е непрекъсната в интервала ${\displaystyle J}$ и равенството ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ е изпълнено навсякъде в ${\displaystyle J}$ с изключение на краен брой стойности на x, където ${\displaystyle F}$ евентуално не е диференцируема, то ${\displaystyle F}$ се нарича обобщена примитивна на ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle J}$. От съображения за пълнота се приема, че ако ${\displaystyle f}$ има примитивна ${\displaystyle F}$, то тя има и обобщена примитивна, съвпадаща с ${\displaystyle F}$.

Понякога в определението за обобщена примитивна се допуска условието ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ да бъде нарушено и за безкрайна редица от стойности ${\displaystyle x_{i}}$ на аргумента ${\displaystyle x}$. Възможно е обобщената примитивна да се дефинира без изискването за непрекъснатост. При това се допуска стойностите ${\displaystyle x_{i}}$, за които равенството ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ е нарушено, да са точки на прекъсване на ${\displaystyle F}$. За приложенията обаче са важни само непрекъснатите примитивни.

Не всяка функция ${\displaystyle f}$ има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде производна на някаква друга функция. Така например, според теоремата на Дарбу, ако функцията ${\displaystyle F:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$ приема всички стойности между числата ${\displaystyle f\left(a\right)}$ и ${\displaystyle f\left(b\right)}$. Следователно функцията ${\displaystyle f}$ няма примитивна, ако тя има точки на прекъсване от 1-ви род. Функцията ${\displaystyle f}$ може да няма примитивна и в други случаи, например ако тя има някои прекъсвания от 2ри род. Възможно е функцията ${\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} }$ да няма примитивна (и съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на ${\displaystyle f}$ в някой подинтервал ${\displaystyle K\subset J}$, който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата ${\displaystyle f}$ има съответна примитивна в ${\displaystyle K}$. Ако ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle \Phi }$ са две примитивни на ${\displaystyle f}$, то те могат да се различават само с адитивна константа (${\displaystyle +C}$). Така, ако ${\displaystyle F}$ е примитивна на ${\displaystyle f}$, всяка друга примитивна ${\displaystyle \Phi }$ на ${\displaystyle f}$ се определя от ${\displaystyle \Phi \left(x\right)=F\left(x\right)+C}$, където C е константа.

Неопределен интеграл

Множеството на всички примитивни на дадена функция ${\displaystyle f}$ се нарича неопределен интеграл на дадената функция, ${\displaystyle f}$, и се бележи с ${\displaystyle int\left(f\right)}$. Според тази дефиниция всяка функция има определен интеграл. Действително, ако ${\displaystyle f}$ има примитивна ${\displaystyle F}$, то ${\displaystyle int\left(f\right)}$ се състои от всички функции, които се отличават от ${\displaystyle F}$ с адитивна константа и следователно множеството ${\displaystyle int\left(f\right)}$ има същия брой елементи като реалните числа (${\displaystyle \mathbb {R} }$). Ако ${\displaystyle f}$ няма примитивна, то множеството ${\displaystyle Int\left(f\right)}$ е празно, което се записва като ${\displaystyle Int\left(f\right)=\emptyset }$.

За примитивната ${\displaystyle F}$ на функцията ${\displaystyle f}$ е прието означението $${\displaystyle F\left(x\right)=\int f\left(x\right)\,dx}$$. Тук ${\displaystyle f}$ се нарича подинтегрална функция, ${\displaystyle f\left(x\right)dx}$ се нарича подинтегрален израз, а ${\displaystyle \int }$ е символът за интеграл.

Намирането на примитивна на дадена функция се нарича неопределено интегриране и се извършва чрез таблични интеграли. Интегрирането и диференцирането са взаимнообратни операции, т.е.:

$${\displaystyle d\int f\left(x\right)\,dx=f\left(x\right)\,dx}$$ $${\displaystyle \int dF\left(x\right)=F\left(x\right)}$$

Тъй като интегрирането е линеен оператор и функциите ${\displaystyle f,g:J\rightarrow \mathbb {R} }$ имат примитивни и ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ са константи, то:

$${\displaystyle \int \left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)\,dx=\alpha \int f\left(x\right)\,dx+\beta \int g\left(x\right)\,dx}$$

Определен интеграл

Определен интеграл в интервала [a,b]

Нека ${\displaystyle F}$ е примитивна на ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle a\in J}$ е фиксирана точка от интервала ${\displaystyle J}$. Тогава функцията ${\displaystyle \Phi }$ определена от ${\displaystyle \Phi \left(x\right)=F\left(x\right)-F\left(a\right)}$, е също примитивна на ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle J}$, която удовлетворява условието ${\displaystyle \Phi \left(x_{0}\right)=0}$. За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:

$${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\;dx=F(b)-F(a)}$$

Не съществуват определени интеграли за всяка функция. Това е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл. Изобщо, на дадена функция ${\displaystyle f:J\rightarrow \mathbb {R} }$ и на даден подинтервал ${\displaystyle \left[a,b\right]\subset J}$ можем да съпоставим величината:

$${\displaystyle I=I(f,\left[a,b\right])}$$

Тази величина се нариче определен интеграл на функцията ${\displaystyle f}$ в интервала ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, ако са изпълнени:

1. Линейност: Ако ${\displaystyle f,g:J\rightarrow \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ са числа, то $${\displaystyle I\left(\alpha f+\beta g,\left[a,b\right]\right)=\alpha I\left(f,\left[a,b\right]\right)+\beta I\left(g,\left[a,b\right]\right)}$$ където функцията ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ е определена от ${\displaystyle x\rightarrow \alpha f(x)+\beta g(x)}$.
   
2. Адитивност: Ако ${\displaystyle c\in \left[a,b\right]}$, то $${\displaystyle I(f,\left[a,c\right])+I(f,\left[c,b\right])=I(f,\left[a,b\right])}$$ В частност, ако ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b}$ е разбивка на интервала ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, то $${\displaystyle I(f,\left[a,b\right])=\sum \limits _{k=0}^{n-1}I(f,\left[x_{k},x_{k+1}\right])}$$
3. Нетривиалност: Ако означим с 1 постоянната функция ${\displaystyle x\rightarrow 1}$, то $${\displaystyle I(1,\left[a,b\right])=b-a}$$

Методи за решаване

В математическия анализ са известни множество методи за интегриране на функция. Най-простият начин е чрез директно решаване на интеграла, като за целта може да се прибегне до табличните интеграли. Други методи са заместване, интегриране по части и т.н.

Вижте също

• Производна
• Математически анализ
• Таблични интеграли

Външни препратки

• Online инструмент за изчисляване на интеграли