Елипсоид на Якоби

Елипсоидът на Якоби е равновесна форма, която може да заеме самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна ъглова скорост. Този елипсоид има три различни по дължина оси и носи името на немския математик Карл Густав Якоб Якоби^[1]

Хаумея, планета джудже с форма на триосен елипсоид

История

Преди Якоби, определеният през 1742 г. от Маклорен сфероид е бил считан за единствения тип елипсоид, който да е равновесен^[2][3]. През 1811 г. Жозеф Луи Лагранж ^[4] разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете му екваториални оси трябва да са равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установява, че доказаното от Лагранж е само достатъчно, но не и необходимо условие. Той отбелязва: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури в равновесие дори при ограничаващото допускане за повърхности от втора степен“ и добавя: "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси могат също да са равновесни; може да се приеме елипса с произволна форма на екваториалното сечение и да се изчислят третата най-малка ос и ъгловата скорост на въртене така, че елипсоидът да бъде в равновесие." ^[5]

Формула на Якоби

Екваториални (a, b) и полярна (c) главни полуоси на елипсоида на Якоби и сфероида на Маклорен, като функция на нормализирания момент на импулса, при условие, че abc = 1 (т.е. за постоянен обем от 4π/3).
Пунктирните линии са за сфероида на Маклорен в обхвата, в който той притежава динамична, но не и секуларна стабилност – той ще се превърне в елипсоида на Якоби, ако енергията се разсее, например при вискозен флуид.

За елипсоид с полу-главни оси ${\displaystyle a,\ b,\ c}$a, b, c ъгловата скорост ${\displaystyle \Omega }$ относно оста ${\displaystyle z}$ се дава с израза

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}=2abc\int _{0}^{\infty }{\frac {udu}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}\ ,\quad \Delta ^{2}=(a^{2}+u)(b^{2}+u)(c^{2}+u),}$

където ${\displaystyle \rho }$ е плътността и ${\displaystyle G}$ е гравитационната константа, като се удовлетворява условието

${\displaystyle a^{2}b^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(a^{2}+u)(b^{2}+u)\Delta }}=c^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {du}{(c^{2}+u)\Delta }}.}$

За фиксирани стойности на ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, горното условие има решение за c:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}>{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли. ^[6] Ако се използва симетричната форма на Карлсон R_J за елиптичния интеграл, формулата за ъгловата скорост става

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {4abc}{3(a^{2}-b^{2})}}(a^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-b^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))}$

и условието за относителния размер на полу-главните оси ${\displaystyle a,\ b,\ c}$ е

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\frac {a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}}(R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2})-R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))={\frac {2}{3}}c^{2}R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).}$

Моментът на импулса ${\displaystyle L}$ на елипсоида на Якоби се дава от израза

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{10}}{\frac {a^{2}+b^{2}}{{\bar {a}}^{2}}}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(abc)^{1/3},}$

където ${\displaystyle M}$ е масата на елипсоида а ${\displaystyle {\bar {a}}}$ е средният радиус, радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.

Източници

1. Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.
2. Chandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal figures of equilibrium (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.
3. Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.
4. Lagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sect. IV 2 vol.
5. Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.
6. Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.

Вижте също

• сфероид
• елипсоид

Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата Jacobi ellipsoid в Уикипедия на английски. Оригиналният текст, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс – Признание – Споделяне на споделеното“, а за съдържание, създадено преди юни 2009 година – от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналната страница, както и на преводната страница, за да видите списъка на съавторите. ​ ВАЖНО: Този шаблон се отнася единствено до авторските права върху съдържанието на статията. Добавянето му не отменя изискването да се посочват конкретни източници на твърденията, които да бъдат благонадеждни.​