Елипса
From Wikipedia, the free encyclopedia
From Wikipedia, the free encyclopedia
Елипса (от гр. έλλειψη – липса) в геометрията е геометрично място на точки M, за които сумата от разстоянията до две дадени точки и (наречени фокуси) е постоянна, т.е.
Тази статия е за геометричната крива. За стилистичния похват вижте Елипса (литература). Окръжността е частен случай на елипса, когато двата фокуса съвпадат.
Разстоянието се нарича фокусно разстояние, а отношението – ексцентрицитет.
Ексцентрицитетът характеризира разтеглеността на елипсата – колкото ексцентрицитетът е по-близък до 0, толкова повече елипсата наподобява окръжност, и обратното – колкото ексцентрицитетът е по-близък до 1, толкова тя е по-издължена.
Елипсата е вид конично сечение: ако един конус бъде пресечен от равнина, която не пресича основата на конуса и не е успоредна на нея, то сечението на конуса и равнината е елипса.
Частта от правата, минаваща през двата фокуса и ограничена от елипсата, се нарича голяма ос. Голямата ос е най-дългата отсечка, която свързва 2 точки от елипсата. Правата, която минава през центъра (по средата между фокусите) и сключва прав ъгъл с голямата ос, се нарича малка ос. Голямата полуос е половината от голямата ос. Аналогично малката полуос е половината от малката ос.
Размерът на елипсата се определя от две константи, условно означени с a и b, където a е дължината на главната полуос, а b – на малката полуос.
Елипса, чийто център е в началото на координатната система Oxy и е с главна ос по оста x, се определя от каноничното уравнение
Следващата графика демонстрира питагоровата теорема a² = b² + c² като частен случай на долното непараметрично уравнение за (x = 0, y = b).
Същата елипса може да бъде представена чрез параметричните уравнения:
където се използват тригонометричните функции синус и косинус.
Ако елипсата не е с център началото на координатната система, но отново главната ѝ ос е по оста x, тя може да бъде описана с уравнението
където (h,k) са координатите на центъра.
Формата на елипсата се изразява с число, наречено ексцентрицитет на елипсата, означавано с e. Ексцентрицитетът се свързва с a и b чрез равенството
където (линейният ексцентрицитет на елипсата) е равен на разстоянието от центъра до който и да е от фокусите.
Ексцентрицитетът е положително число между 0 (в частния случай на окръжност) и 1.
Колкото е по-голям ексцентрицитетът, толкова е по-голямо отношението на a към b и следователно елипсата е по-издължена.
Разстоянието между фокусите е 2ae.
Отсечката от фокуса на елипсата до самата елипса, перпендикулярна на главната ос, се нарича параметър (фокална полухорда) на елипса (бележи се с l). Връзката между него и a и b се изразява чрез формулата al = b2.
Елипса, на която единият от фокусите е в центъра на координатната система, а другият лежи върху отрицателната част на абсцисата, се разглежда в полярни координати с помощта на следното уравнение:
Елипсата може да бъде разглеждана и като проекция на окръжност върху равнина, наклонена под ъгъл φ спрямо хоризонтална равнина, проектирана перпендикулярно върху нея. Тази проекция ни дава елипса с ексцентрицитет sin φ при φ различно от 90°.
Лицето на фигурата, заключена от елипсата, е a b, където е Архимедовата константа.
Обиколката на елипсата е 4aE(e), което не може да бъде изразено с проста функция. E в случая е пълен елиптичен интеграл от втори род.
Точното решение за изразяване на обиколката на една елипса е безкраен ред:
Добро приближение, дадено от Рамануджан:
където a и b са съответно голямата и малката полуос.
Горното може да бъде записано и като:
Ако имаме елипсовидно огледало с източник на светлина в един от фокусите, тогава всички лъчи ще се отразяват към една точка – втория фокус. Тъй като няма друга крива с това свойство, то може да бъде използвано като алтернативна дефиниция на елипса.
Йохан Кеплер открива, че орбитите, които планетите описват около Слънцето, са с форма на елипса. Това е и първият закон на Кеплер. По-късно Исак Нютон обяснява, че този факт е естествен резултат от неговия закон за всебщото привличане.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
![{\displaystyle c=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}e^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{e^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{e^{6} \over 5}-\dots }\right]\!\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dece6422e6773b6dcb302bc94fcde2d4c7ee9181)
![{\displaystyle c\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a3ac5195dc1897eaae968fa3edece02a003b06)
![{\displaystyle c\approx \pi a\left[3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}}\right]\!\,}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94098c60bbb83fc7dffdb508bd4e3b158aa3c38)
