Вълновото уравнение във физиката представлява линейно хиперболично частно диференциално уравнение, определящо малки напречни колебания на тънка мембрана или струна, както и други колебателни явления в твърди среди и анализ на процесите в електромагнетизма.
Импулс, движещ се през струна с фиксирани краища и моделиран от вълновото уравнение.
Сферични вълни, произлизащи от точков източник.
Намира приложение и в други области на теоретичната физика, например при описанието на гравитационните вълни. Това е едно от основните уравнения в математическата физика.
През 1746 г. Д'Аламбер открива едномерното вълново уравнение, а след десет години Ойлер открива триизмерното вълново уравнение.[1]
В многомерния случай еднородното вълново уравнение се записва във вида:
,
където е оператор на Лаплас, е неизвестната функция, е времето, е пространствената променлива, а е фазовата скорост.
В едномерния случай уравнението се записва във вида:
.
Оператор на Д'Аламбер
Разликата се нарича оператор на Д'Аламбер и се обозначава като (въпреки че различните източници използват различни знаци). С използването на оператора на Д'Аламбер (Д'Аламбертиан) еднородното вълново уравнение се записва като:
Нееднородно уравнение
Нееднородното вълново уравнение се записва във вида:
,
където е дадена функция на външно въздействие (сила).
Задачата за намиране на нормални колебания в система, описана от вълнови уравнения, се привежда до задача на собствените значения на уравнението на Лаплас, тоест до намирането на решение на уравнението на Хелмхолц, което се намира чрез заместване:
Потенциалите са свързани с напрегнатостта на електрическото и магнитното полета. Магнитният потенциал е дефиниран така, че
. (1)
Ако така определеният вектор на магнитното поле се замести във второто уравнение на Максуел, след известни математически преобразования се получава следният израз за напрегнатостта на електричното поле:
. (2)
Ако в първото уравнение на Максуел се замести с дясната част на уравнение (1), след някои преобразувания се получава уравнението на Даламбер за векторния потенциал:
. (3)
Следователно, за определяне на векторния потенциал е необходимо да се реши диференциалното уравнение (3), ако е известен токът на проводимостта .
Ако в третото уравнение на Максуел се замести с дясната част на уравнение (2), след аналогични преобразувания се получава уравнението на Даламбер за скаларния потенциал:
. (4)
Следователно, за определяне на скаларния потенциал е необходимо да се реши диференциалното уравнение (4), ако е известна обемната плътност на електричните заряди .
Ако векторният потенциал , скаларният потенциал и плътността на обемните заряди се изменят много бавно, може да се приеме, че почти не зависят от времето и производните им спрямо времето са нули. Тогава уравненията (3) и (4) стават Поасонови уравнения:
. (5)
. (6)
В областта, където липсват свободни електрически заряди и диференциалното уравнение (4) приема вида:
. (7)
Това диференциално уравнение е известно с името вълново уравнение за електричния потенциал.
Аналогично от равенство (3) при липса на ток на проводимост се получава вълновото уравнение за магнитния потенциал:
. (8)
Съществува аналитично решение на хиперболичното уравнение в частни производни. В евклидово пространство с произволна размерност то се нарича формула на Кирхоф. Частни случаи: за колебания на струна () – формула на Д'Аламбер, за колебания на мембрана () – формула на Поасон.
Решенията на Поасоновите уравнения са както на диференциалните уравнения на Поасон в електростатиката:
Решението на вълновото уравнениe е функция на аргумента :
,
където е разстоянието от координатното начало до точката на наблюдение с координати и изразява модула на радиус-вектора между двете точки; e скоростта на светлината във вакуум с диелектрична и магнитна проницаемостиε0 и μ0. Така скаларният потенциал в електродинамиката се получава като решение на Поасоново уравнение във вида:
Аналогично е решението на Поасоновото уравнение за векторния потенциал:
.
Следователно решенията на уравненията са същите, както в електростатиката, но със закъснене по време , необходимо за разпространение на вълнàта на разстояние със скорост . Затова електродинамичните потенциали се наричат закъсняващи потенциали.
Формула на Д'Аламбер
Решение на едномерно вълново уравнение (тук е фазовата скорост):
(функцията съответства на външна сила)
с начални условия
има вида
Интересно е да се отбележи, че решението на еднородната задача
,
имащо следния вид
Решение на двуизмерното вълново уравнение.
може да бъде представено и така
където
В такъв случай се казва, че решението е представено във вида на сбор от бягащи вълни, а функциите и са профили на вълните, бягащи, съответно, наляво и надясно. В разглеждания случа профилите на вълните се изменят с времето.
В многомерния случай решението на задачата на Коши може да бъде разложено на бягащи вълни, само че не в сбор, ами в интеграл, тъй като направленията стават безкрайно много. Това лесно се преодолява с помощта на трансформация на Фурие.
Метод на отражение
Нека разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка
с еднородни гранични условия от първи род (тоест при фиксирани краища)
и начални условия
В дадения случай трябва безкрайно число на отражение и в резултат на това продължаването на първоначалните условия ще се определи по следния начин:
При разглеждането на нееднородно вълново уравнение:
се използват същите съображение и функцията се продължава по такъв начин.
Метод на Фурие
Нека отново да разгледаме едномерното еднородно вълново уравнение в отрязъка
с еднородни гранични условия от първи род
и начални условия
Методът на Фурие се основава на представянето на решението във вида на безкрайна линейна комбинация от прости решения на задачата от вида
, където и двете функции зависят само от една променлива.
Оттук е и другото название на метода – метод на разделянето на променливи.
Лесно е да се докаже, че за да може функцията да е решение на уравнението на колебание и да удовлетворява граничните условия, е необходимо да са изпълнени условията
Решението на задачата на Щурм при води до резултат:
и техните собствени стойности
Съответстващите им функции изглеждат като
По този начин, тяхната линейна комбинация (при условие, че редът е сходящ) е решение на смесената задача
Разлагайки функцията в ред на Фурие, е възможно да се получат коефициентите , при които решението ще приеме такива начални условия.