From Wikipedia, the free encyclopedia
Гаусавы цэлыя лікі (гаусавы лікі, цэлыя камплексныя лікі) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі[1]. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў»[2] (1828—1832)[3]. Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў але ёсць і істотныя адрозненні.
Фармальнае азначэнне:
Мноства утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў і з’яўляецца яго пашырэннем[4]. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам[5]. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку ёсть таксама гаусаў лік
Кожны лік задавальняе квадратнае ўраўненне:
Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.
Норма для гаусавага ліку вызначаецца як квадрат яго модуля[6]:
Уласцівасці нормы[7]:
Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці[7]:
Адсюль вынікае[8], што абарачальнымі элементамі колца (дзельнікамі адзінкі) з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн.
Два гаусавыя лікі называюцца асацыіраванымі, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці[8]. Прыклад: гаусавы лікі 1 + i і 1 − i асацыіраваныя, бо:
У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.
Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам[7]:
Кажуць, што гаусаў лік дзеліцца (цалкам) на гаусаў лік , калі існуе трэці гаусаў лік такі, што . Абазначэнне: |
Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,
Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае (), дзельнік () і дзель (). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.
Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на 1 + i, таму што .
Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца трывіяльнымі[9].
Дзяленне цалкам у па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў[8][7]:
У кожнага гаусавага ліку ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем на :
Але дамнажэнне на геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя . Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з , атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя Напрыклад, на рысунку Наадварот, любое кратнае супадае з адным з вузлоў рашоткі.
Просты гаусаў лік — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца састаўным. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі[10].
Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:
Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у ужо не простыя:
Калі гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў і , ён называецца іх агульным дзельнікам. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца ўзаемна простымі[11].
Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, і узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.
Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.
Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў [13].
Гаусаў лік з’яўляецца простым тады і толькі тады, калі:
|
Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.
Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве[14]:
Сам Гаус такога раздзялення не рабіў[15].
Вынікі.
У спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў[1][18].
Прыклад: Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: так што адназначнасць не парушаецца.
Каб практычна раскласці гаусаў лік на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з ліку.
Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку на простыя натуральныя множнікі[19].
Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: Згодна з вышэйсказаным, Праверкаю пераконваемся, што дзеліцца толькі на і не дзеліцца на Дзель на роўная таму канчаткова атрымліваем:
Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў[20]:
Няхай — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі называюцца параўнальнымі па модулю , калі рознасць дзеліцца (цалкам) на . Гэта запісваецца так: |
Уласцівасці параўнанняў у у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.
Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання . Тады разбіваецца на два класы вылікаў: лікі , у якіх аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю — у другі.
У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:
Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю утрымлівае элементаў[20]. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што дзеліцца на для любога простага і натуральнага . Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі ; напрыклад, для цэлых лікаў заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых , і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам[20]:
|
Праверым на тым жа прыкладзе з Атрымаем: — дзеліцца на 3.
Назавём клас вылікаў па модулю у якім утрымліваецца лік абарачальным, калі параўнанне
мае рашэнне адносна Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі і узаемна простыя[20]. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў , як і ў утвараюць поле.
Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да n», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне[20]:
Функцыя Эйлера для гаусавага ліку вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю |
Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі — просты гаусаў лік, то[20]:
Прыклад:
Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера[20]:
Калі гаусаў лік узаемна просты з модулем то: |
Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю , калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.
Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная Адсюль вынікае канчатковы вывад[20]:
Гаусавы лікі параўнальныя па модулю тады і толькі тады, калі яны займаюць аднолькавае адноснае становішча ў сваіх квадратах рашоткі кратных. |
Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.
У колцы можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельніка[21]:
Любы гаусаў лік можна раздзяліць з астачаю на любы ненулявы гаусаў лік , г. зн. прадставіць у выглядзе: тут дзель і астача — гаусавы лікі, прычым |
Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаў[22].
Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У у адрозненне ад астача неадназначная. Напрыклад, можна раздзяліць на двума спосабамі:
Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.
Прыклад. Раздзелім з астачаю на . Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:
Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен тады астача роўная У выніку атрымліваем:
Колца гаусавых лікаў з’яўляецца еўклідавым, і ў ім заўсёды можна вызначыць найбольшы агульны дзельнік, прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі[23].
Найбольшым агульным дзельнікам НАД для гаусавых лікаў і , хаця б адзін з якіх ненулявы, называецца іх агульны дзельнік , які дзеліцца на любы іншы агульны дзельнік і |
Эквівалентнае азначэнне: НАД ёсць той агульны дзельнік , у якога норма найбольшая[24].
Няхай — гаусавы лікі, і хоць адзін з іх не нуль. Тады існуюць такія гаусавы лікі , што спраўджваюцца суадносіны:
|
адносна мае рашэнне ў Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.
Для вызначэння НАД ў зручна карыстацца алгарытмам Еўкліда, цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатача[26]. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў у суадносінах Безу[20].
Прыклад 1. Знойдзем НАД для і
Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная , гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.
Прыклад 2. Знойдзем НАД для і
Апошняя ненулявая астача роўная , гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:
Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаў[27]. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.
З крытэрыя Гауса выцякае, што просты натуральны лік віду можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад:
Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад, і іншыя лікі віду нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад[27]:
Агульная тэарэма[17]:
|
Прыклад: нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік мае няцотную ступень. Але прадставіць можна:
Лік прадстаўленняў натуральнага ліку у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынам[28]. Раскладзём на простыя натуральныя множнікі:
тут — множнікі віду а — множнікі віду Тады магчымыя 3 выпадкі.
Піфагорава тройка — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:
Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў :
Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай — адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік Тады тройка будзе піфагоравай[27].
Прыклад: для зыходнага ліку атрымліваем піфагораву тройку:
Рашэнне многіх дыяфантавых ураўненняў удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняў[29], залежных ад цэлых параметраў :
У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую[27].
Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».
Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца — гэта камплексныя лікі віду , дзе — рацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.
У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі»[3].
У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу[3].
Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях[33]. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.
Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.