From Wikipedia, the free encyclopedia
Простымі словамі, рад або шэраг — упарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.
Няхай — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:
які і называецца лікавым радам са складнікамі [1]
Будзем казаць, што рад
мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці яго частковых сум
Гэты ліміт
і называецца сумай рада[2].
Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным[2].
Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.
У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:
Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.
Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як e і π, можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.
Няхай — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць
кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду
Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак
бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.
У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:
Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:
Няхай зададзены збежныя рады і . Тады:
Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.
Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад .
Рад збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады і , дзе
Калі збягаецца то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца і Наадварот, калі збягаюцца і то збягаецца і іх сума
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.