Электрамагнітныя ваганні

Электрамагнітнымі ваганнямі называюцца перыядычныя змены напружанасці Е і індукцыі В.

Электрамагнітныя ваганні можна адлюстраваць у выглядзе папярочных ваганняў электрычнага і магнітнага палёў, якія самі распаўсюджваюцца. На малюнку - плоскапалярызованая хваля, якая распаўсюджваецца справа налева. Ваганні электрычнага поля намаляваны ў вертыкальнай плоскасці, а ваганні магнітнага поля - у гарызантальнай.

Электрамагнітнымі ваганнямі з'яўляюцца радыёхвалі, мікрахвалі, інфрачырвонае выпраменьванне, бачнае святло, ультрафіялетавае выпраменьванне, рэнтгенаўскія прамяні, гама-прамяні.

Вывад формулы

Электрамагнітныя хвалі як універсальная з'ява былі прадказана класічнымі законамі электрычнасці і магнетызму, вядомымі як ураўненні Максвела. Калі вы ўважліва паглядзіце на ураўненні Максвела ў адсутнасць крыніц (зарадаў або токаў), то выявіце, што акрамя трывіяльнага рашэння, калі напружанасці электрычнага і магнітнага поля роўныя нулю ў кожнай кропцы прасторы і нічога не мяняецца, існуюць нетрывіяльныя рашэнні, якія ўяўляюць сабой змены абедзвюх напружанасцяў ў прасторы і часу. Пачнем з ураўненняў Максвелла для вакууму

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (1)}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} \qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\qquad \qquad \qquad \ \ (3)}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {E} \qquad \ \ \ (4)}$

дзе

${\displaystyle \nabla }$ — вектарны дыферэнцыяльны аператар (набла).

Адно з рашэнняў,

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {B} =\mathbf {0} }$,

— самае простае.

Каб знайсці іншае, больш цікавае рашэнне, мы скарыстаемся вектарнай тоеснасцю, якая справядліва для любога вектара, у выглядзе:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {A} }$

Каб паглядзець як мы можам выкарыстоўваць яго, возьмем аперацыю віхуры ад выказвання (2):

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \ (5)\,}$

Левая частка эквівалентная:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {E} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\nabla ^{2}\mathbf {E} \qquad \quad \ (6)\,}$

дзе мы спрашчаем, выкарыстоўваючы вышэй прыведзенае раўнанне (1).

Правая частка эквівалентная:

${\displaystyle \nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} \qquad (7)}$

Ураўненні (6) і (7) роўныя, такім чынам гэтыя вынікі ў вектарназначным дыферэнцыяльным ураўненні для электрычнага поля, а менавіта

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {E} }$

Ужываючы аналагічныя зыходныя вынікі ў аналагічным дыферэнцыяльным ураўненні для магнітнага поля:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\mathbf {B} }$.

Гэтыя дыферэнцыяльныя ураўненні эквівалентныя хвалеваму ураўнанню:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,}$

дзе

c₀ — хуткасць хвалі у ваккуме;

f — апісвае зрух.

Ці яшчэ прасцей:

${\displaystyle \Box ^{2}f=0}$

где ${\displaystyle \Box ^{2}}$ — аператар Д’Аламбера:

${\displaystyle \Box ^{2}=\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\ }$

Заўважце, што ў выпадку электрычнага і магнітнага палёў хуткасць:

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}}$

Якая, як высвятляецца, ёсць хуткасць святла ў вакууме. ураўненні Максвела аб'ядналі дыэлектрычную пранікальнасць вакууму ε₀, магнітную пранікальнасць вакууму μ₀ і непасрэдна хуткасць святла c₀. Да гэтага вываду не было вядома, што была такая строгая сувязь паміж святлом, электрычнасцю і магнетызмам.

Але маюцца толькі два ураўненні, а мы пачалі з чатырох, таму маецца яшчэ больш інфармацыі адносна хваляў, схаваных у ураўненнях Максвела. Давайце разгледзім тыповую вектарную хвалю для электрычнага поля.

${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}$

Тут ${\displaystyle \mathbf {E} _{0}}$ — пастаянная амплітуда ваганняў, ${\displaystyle f}$ — любая імгненная дыферэнцавальная функцыя, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ — адзінкавы вектар у кірунку распаўсюджвання, а ${\displaystyle {\mathbf {x} }}$i- радыус-вектар. Мы заўважаем, што ${\displaystyle f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}$ — агульнае рашэнне хвалевага ураўнення. Іншымі словамі

${\displaystyle \nabla ^{2}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}f\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)}$,

для тыповай хвалі, якая распаўсюджваецца ў ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ кірунку.

Гэтая форма будзе задавальняць хвалеваму ураўненні, але ці будзе яна задавальняць усім ураўненням Максвела, і з чым адпаведны магнітнае поле?

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=0}$

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\hat {\mathbf {k} }}=0}$

Першае ураўненне Максвелла мае на ўвазе, што электрычнае поле артаганальнае (перпендыкулярнае) кірунку распаўсюджванню хвалі.

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} ={\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} _{0}f'\left({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {x} -c_{0}t\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c_{0}}}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {E} }$

Другое ураўненне Максвелла спараджае магнітнае поле. Тыя, што засталіся, ўраўненні будуць задавальняцца выбарам ${\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }$.

Мала таго, што хвалі электрычнага і магнітнага палёў распаўсюджваюцца з хуткасцю святла, але яны маюць абмежаваную арыентацыю і прапарцыйную велічыню, ${\displaystyle E_{0}=c_{0}B_{0}}$, якую можна адразу ж заўважыць з вектара Пойнтынга. Электрычнае поле, магнітнае поле і кірунак распаўсюджвання хвалі, ўсе з'яўляюцца артаганальнымі, і распаўсюд хвалі ў тым жа кірунку як вектар ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {B} }$.

З пункту гледжання электрамагнітнай хвалі, якая перамяшчаецца прамалінейна, электрычнае поле можа вагацца уверх і ўніз, у той час як магнітнае поле можа вагацца направа і налева, але гэтая карціна можа чаргавацца з электрычным полем, рухомым направа і налева, і магнітным полем, якое вагаецца уверх і ўніз. Гэтая адвольнасць ў арыентацыі з перавагай да кірунку распаўсюджвання вядома як палярызацыя.

Гл. таксама

• Ураўненні Максвела
• Вібратар Герца
• Вагальны контур