Чатырохвугольнік

Чатырохвугольнік — плоская фігура, якая складаецца з чатырох пунктаў (вяршынь) і чатырох адрэзкаў (старон), якія паслядоўна іх злучаюць. Пры гэтым ніякія тры з дадзеных пунктаў не павінны ляжаць на адной прамой, а адрэзкі, якія іх злучаюць, не павінны перасякацца.

Чатырохвугольнікі
┌─────────────┼────────────┐
увагнуты		выпуклы		скрыжаваны
┌─────────────┼─────────────┐
апісаная акружнасць		трапецыя		датычны
| ┌───────────┤				|
раўнабокая трапецыя раўнабокая		паралелаграм сіметрычныя бакі		выпуклы рамбоід дыяганалі перпендыкулярны
└─────┬─────┘			└─────┬─────┘
прамавугольнік прамые вуглы			Ромб раўнабедраны
└──────────┬─────────┘
квадрат

Рысунак 1. Чатырохвугольнік.

Інакш кажучы, чатырохвугольнік — гэта многавугольнік, які мае чатыры вяршыні і чатыры стараны.

Вяршыні чатырохвугольніка называюцца суседнімі, калі яны з'яўляюцца канцамі адной з яго старон, несуседнія вяршыні называюцца процілеглымі. Адрэзкі, які злучаюць процілеглыя вяршыні чатырохвугольніка, называюцца дыяганалямі. На рысунку 1 адрэзкі AC і BD — дыяганалі чатырохвугольніка ABCD.

Стораны чатырохвугольніка, якія выходзяць з адной вяршыні, называюцца суседнімі старанамі. Стораны, якія не маюць агульнага канца, называюцца процілеглымі старанамі. У чатырохвугольніку на рысунку 1 процілеглымі старанамі з'яўляюцца стораны AB і CD, BC і AD.

Чатырохвугольнік пазначаюць запісам яго вяршынь. Напрыклад, чатырохвугольнік на рысунку 1 можна абазначыць як ABCD. Пры пазначэнні чатырохвугольніка суседнія вяршыні павінны пералічвацца падрад у парадку абыхода чатырохвугольніка. Чатырохвугольнік ABCD можна таксама пазначыць BCDA ці DCBA, але нельга пазначыць ABDC (B і D — не суседнія вяршыні).

Уласцівасці

• Сума вуглоў чатырохвугольніка роўная

${\displaystyle 2\pi =360^{\circ }.}$

• Чатырохвугольнік можна ўпісаць у акружнасць толькі тады, калі сума процілеглых вуглоў роўная 180°

${\displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }.}$

• Чатырохвугольнік з'яўляецца апісаным каля акружнасці толькі тады, калі сумы даўжынь процілеглых старон роўныя

${\displaystyle AB+CD=BC+AD.}$

Плошча

Плошча адвольнага выпуклага чатырохвугольніка роўная палавіне здабытку дыяганалей на сінус вугла паміж імі:

${\displaystyle S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \beta }{2}},}$

• дзе ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ — дыяганалі чатырохвугольніка, а ${\displaystyle \beta }$ — вугал паміж імі.

Перыметр

Перыметр чатырохвугольніка роўны суме яго старон

${\displaystyle S_{ABCD}=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|,}$

• дзе ${\displaystyle |AB|,|BC|,|CD|,|DA|}$ — стораны чатырохвугольніка.

Віды чатырохвугольнікаў

Рысунак 2. Нявыпуклы чатырохвугольнік.

Існуюць выпуклы і нявыпуклыя чатырохвугольнікі.

Чатырохвугольнік з'яўляецца выпуклым, калі для кожнай з яго старон ён размешчаны па адзін бок ад прамой, атрыманай працягам гэтай стараны.

На рысунку 1 ABCD — выпуклы чатырохвугольнік, а на рысунку 2 чатырохвугольнік ABCD нявыпуклы.

Таксама вылучаюць:

1. Паралелаграм — чатырохвугольнік, у якога процілеглыя стораны папарна паралельныя
   • Прамавугольнік — Паралелаграм, у якога ўсе вуглы прамыя
   • Ромб — Паралелаграм, у якога ўсе стораны роўныя
   • Квадрат — Прамавугольнік, у якога ўсе стораны роўныя
2. Трапецыя — чатырохвугольнік, у якога дзве стараны паралельныя, а дзве іншыя не паралельныя
3. Дэльтоід — чатырохвугольнік, у якога дзве пары сумежных старон роўныя

У Сеціве

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Чатырохвугольнік