Тэарэма Пойнтынга

Тэарэма Пойнтынга (англ.: Poynting's theorem) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$,

Дзе S — вектар Пойнтынга, J — шчыльнасць току і E — электрычнае поле. Шчыльнасць энергіі ${\displaystyle u}$ (${\displaystyle \epsilon _{0}}$ — электрычная пастаянная, ${\displaystyle \mu _{0}}$ — магнітная пастаянная).

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu _{0}}}\right).}$

Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}u\ dV+\oint _{\partial V}\mathbf {S} \ d\mathbf {A} =-\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \ dV}$,

дзе ${\displaystyle \partial V\!}$ — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём ${\displaystyle V\!}$.

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так (${\displaystyle u}$ — шчыльнасці энергіі):

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0}$,

дзе ${\displaystyle \varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$ — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$ — магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.

Вывад

Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε₀ і μ₀ прыпісаць ε і μ):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на ${\displaystyle \mathbf {B} }$, атрымаем:

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на ${\displaystyle \mathbf {E} }$, атрымаем:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Адымаючы першае з другога, атрымаем:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Нарэшце:

${\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Паколькі вектар Пойнтынга ${\displaystyle \mathbf {S} }$ вызначаецца як:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

гэта раўнасільна:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}$

Абагульненне

Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}$

дзе ${\displaystyle u_{m}}$ — кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}$

${\displaystyle \mathbf {S_{m}} }$ — паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:

${\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}$

Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,}$

Альтэрнатыўныя формы

Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку ${\displaystyle \mathbf {S} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B} }$, можна выбраць форму Абрагама ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }$, форму Мінкоўскага ${\displaystyle \mathbf {D} \times \mathbf {B} }$, або якую-небудзь іншую.