Сіметрычная матрыца

Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу ${\displaystyle A}$, што ${\displaystyle \forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}$.

Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:

${\displaystyle A=A^{T}}$

Прыклады

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}$

Уласцівасці

Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .

Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:

• яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні.
• яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:

${\displaystyle Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0}$

• з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс.
• матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду: ${\displaystyle A=QDQ^{T}}$, дзе ${\displaystyle Q}$ — артаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі.
• Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне ${\displaystyle \lambda }$, то яна мае дыяганальны выгляд: ${\displaystyle A=\lambda E}$, дзе ${\displaystyle E}$ — адзінкавая матрыца, у любым базісе .

Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцы

Сіметрычная матрыца ${\displaystyle A}$ памерам ${\displaystyle k\times k}$ з’яўляецца станоўча вызначанай, калі ${\displaystyle \forall z\in R^{k}:z^{T}Az>0}$.
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.