Пераўтварэнне Фур’е

Пераўтварэнне Фур'е — аперацыя, якая ставіць у апаведнасць пэўнай функцыі рэчаіснай зменнай другую функцыю рэчаіснай зменнай, а таксама вынік гэтай аперацыі. Функцыя, што атрымліваецца ў выніку, называецца фур'е-вобразам ці частотным спектрам. Па сутнасці, фур'е-вобраз апісвае набор частот сінусаідальных сігналаў (гармонік) разам з іх амплітудамі, у выніку складання якіх атрымліваецца першапачатковая функцыя.

Пераўтварэнне было названа ў гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Фур'е-пераўтварэнне функцыі ${\displaystyle f}$ рэчаіснай зменнай уяўляе сабой інтэгральная пераўтварэнне, вызначанае формулай:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=F[f](\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\omega }\,dx.}$

Часам сустракаюцца іншыя азначэнні, якія адрозніваюцца ад прыведзенага выбарам каэффіцыента перад інтэгралам, а таксама знакам "+" ці "-" у паказчыку экспаненты. Пры гэтым амаль усе ўласцівасці застаюцца ранейшымі, хаця выгляд некаторых формул (у першую чаргу формул для адваротнага фур'е-пераўтварэння) можа змяніцца.

Існуюць таксама разнастайныя абагульненні фур'е-пераўтварэння.

Адваротнае пераўтварэнне

Адваротнае Фур'е-пераўтварэнне функцыі ${\displaystyle {\hat {f}}}$ вызначаюць як:

${\displaystyle f(x)=F^{-1}[{\hat {f}}](x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\omega )e^{ix\omega }\,dx.}$

Уласцівасці

• Лінейнасць:

  ${\displaystyle F[f+g]=F[f]+F[g]}$

• Зрух аргумента: калі h(x) = f(x - x₀), то

  ${\displaystyle F[h]=e^{-i\omega x_{0}}F[f]}$

Гл. таксама

• Пераўтварэнне Гільберта
• Рад Фур’е

Спасылкі

• «Преобразование Фурье» (руск.) — пераклад артыкула An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained (англ.)