Біекцыя

Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з’яўляецца адначасова і сюр’ектыўным, і ін’ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць узаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.

Біектыўная функцыя.

Калі між двума мноствамі можна выявіць узаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноствы называюцца роўнамагутнымі. З пункту гледжання тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.

Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.

Азначэнне

Функцыя ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называецца біекцыяй (і пазначаецца ${\displaystyle f\colon X\leftrightarrow Y}$), калі яна:

1. Пераводзіць розныя элементы мноства ${\displaystyle X}$ у розныя элементы мноства ${\displaystyle Y}$ (ін’ектыўнасць). Іначай кажучы,
   • ${\displaystyle \forall x_{1}\in X,\;\forall x_{2}\in X\;x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})}$.
2. Кожны элемент з ${\displaystyle Y}$ мае свой правобраз (сюр’ектыўнасць). Іначай кажучы,
   • ${\displaystyle \forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y}$.

Прыклады

• Тоеснае адлюстраванне ${\displaystyle \mathrm {id} \colon X\to X}$ на мностве ${\displaystyle X}$ біектыўнае.
• ${\displaystyle f(x)=x,\;f(x)=x^{3}}$ — біектыўныя функцыі з ${\displaystyle \mathbb {R} }$ у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з’яўляецца біекцыяй з ${\displaystyle \mathbb {R} }$ у сябе.
•  ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ — біектыўная функцыя з ${\displaystyle \mathbb {R} }$ у ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=(0,\;+\infty )}$.
•  ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ не з’яўляецца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• Строга манатонная і неперарыўная функцыя ${\displaystyle f(x)}$ з’яўляецца біекцыяй з адрэзка ${\displaystyle [a,b]}$ на адрэзак ${\displaystyle [f(a),f(b)]}$.

Уласцівасці

Кампазіцыя ін’екцыі і сюр’екцыі, якая дае біекцыю.

• Функцыя ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ з’яўляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ такая, што

${\displaystyle \forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x}$ и ${\displaystyle \forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.}$

• Калі функцыі ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ біектыўныя, то і кампазіцыя функцый ${\displaystyle g\circ f}$ біектыўная, у гэтым выпадку ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}$. Коратка: кампазіцыя біекцый з’яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі ${\displaystyle g\circ f}$ біектыўная, то мы можам казаць толькі, што ${\displaystyle f}$ ін’ектыўная, а ${\displaystyle g}$ сюр’ектыўная.

Літаратура

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — МЦНМО. — 128 с.