From Wikipedia, the free encyclopedia
Авал Касіні — крывая, якая з'яўляецца геаметрычным месцам пунктаў, здабытак адлегласцей ад якіх да двух зададзеных пунктаў (фокусаў) пастаянны і роўны квадрату некаторага ліку .
Прыватным выпадкам авала Касіні пры фокуснай адлегласці роўнай з'яўляецца лемніската Бернулі. З іншага боку, сам авал з'яўляецца прыватным выпадкам лемніскаты.
Крывая была прыдумана астраномам Джавані Касіні. Ён памылкова лічыў, што яна дакладней за эліпс вызначае арбіту Зямлі[1]. Хоць гэту лінію называюць авалам Касіні, яна не заўсёды авальная (гл. ніжэй — Асаблівасці формы).
Крывая пастаяннай сумы адлегласцей да двух зададзеных пунктаў — эліпс, пастаянных адносін — акружнасць Апалонія, пастаяннай рознасці — гіпербала.
Адлегласць паміж фокусамі .
Выснова |
---|
Фокусы — і . Возьмем адвольны пункт , знойдзем адлегласць ад фокусаў да яго і прыраўнуем яе да :
Узводзім у квадрат абедзве часткі роўнасці: Раскрываем дужкі ў левай частцы: Раскрываем дужкі, згортваем новы квадрат сумы і выносім агульны множнік: |
Выснова |
---|
Узводзім у квадрат і раскрываем дужкі: Прыводзім да выгляду Гэта квадратнае ўраўненне адносна . Рашыўшы яго, атрымаем Узяўшы корань і адкінуўшы варыянт з адмоўным другім складаемым, атрымаем: дзе дадатны варыянт вызначае верхнюю палову крывой, адмоўны — ніжнюю. |
Выснова |
---|
Выкарыстоўваючы формулы пераходу да палярнай сістэмы каардынат атрымаем: Выносім агульныя множнікі і выкарыстоўваем трыганаметрычную тоеснасць : Выкарыстоўваем яшчэ адну тоеснасць: : |
Ва ўраўненні крывой маюцца два незалежныя параметры: — палова адлегласці паміж фокусамі і — корань квадратны са здабытку адлегласцей ад фокусаў да любога пункта крывой. З пункту гледжання формы найбольш істотныя адносіны параметраў, а не іх велічыні, якія пры нязменных адносінах вызначаюць толькі памер фігуры. Можна вылучыць шэсць разнавіднасцей формы ў залежнасці ад велічыні адносін :
Пры двухпазіцыйнай радыёлакацыі вобласцю выяўлення цэлі з'яўляецца фігура, абмежаваная авалам Касіні, калі прыняць у якасці аднаго яго фокусу пазіцыю крыніцы выпраменьвання, а іншага — пазіцыю прыёмніка. Аналагічна, у астраноміі пры назіранні, напрыклад, астэроідаў, якія свецяць адлюстраваным святлом Сонца, умовы іх выяўлення пры зададзенай адчувальнасці тэлескопа апісваюцца формулай авала Касіні. У гэтым выпадку граніцай выяўленяя будзе паверхня, утвораная вярчэннем авала вакол восі, якая злучае Сонца і назіральніка.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.