Аб’яднанне мностваў

Аб’ядна́нне мно́стваў^[1] — бінарная аперацыя над мноствамі, вынікам якой ёсць мноства, якое складаецца з элементаў, што ўваходзяць хаця б у адно з гэтых мностваў. Аб’яднаннем мностваў называюць як саму аперацыю, так і мноства, што з’яўляецца яе вынікам.

Аб’яднанне A і B

Аперацыя аб’яднання мностваў абазначаецца знакам ${\displaystyle \cup }$.

Вызначэнні

Аб’яднанне двух мностваў

Няхай даны два мноствы ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$. Тады іх аб’яднаннем называецца мноства, якое складаецца з элементаў, якія знаходзяцца ў ${\displaystyle A}$, у ${\displaystyle B}$, або ў абодвух мноствах адначасова^[2]:

${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.}$

Аб’яднанне сямейства мностваў

Няхай дано сямейства мностваў ${\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}$ Тады яго аб’яднаннем называецца мноства, якое складаецца з усіх элементаў усіх мностваў сямейства:

${\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}$

Уласцівасці аб’яднання мностваў

• камутатыўнасць: ${\displaystyle \forall A,B:A\cup B=B\cup A}$
• асацыятыўнасць: ${\displaystyle \forall A,B:(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• аб’яднаннем мноства са сваім падмноствам ёсць гэтае мноства: ${\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A\cup B=A}$.

У прыватнасці,

• аб’яднаннем мноства з самім сабой ёсць самое гэтае мноства: ${\displaystyle \forall A:A\cup A=A}$
• аб’яднаннем мноства з пустым мноствам ёсць самое гэтае мноства: ${\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}$
• аб’яднаннем мноства з універсальным мноствам ёсць самое ўніверсальнае мноства: ${\displaystyle \forall A:A\cup U=U}$

Асацыятыўнасць аперацыі аб’яднання мностваў дае магчымасць разглядаць аб’яднанне больш чым двух мностваў як адзіную аперацыю:

${\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}}$

Зноскі

1. Аб’яднанне мностваў // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 12. — 496 с.: іл. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
2. Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product (нявызн.). www.probabilitycourse.com. Праверана 5 верасня 2020.

Спасылкі

• Infinite Union and Intersection at ProvenMath Правілы Дэ Моргана, якія фармальна даказаны з аксіом тэорыі мностваў.