Першаі́сная[1] функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць
![{\displaystyle F'(x)=f(x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e55885b045f664ab95fc6894e8a0ecd53e4eef7)
Хуткія факты Першаісная, Формула, якая апісвае закон або тэарэму ...
Першаісная |
Формула, якая апісвае закон або тэарэму |
![{\displaystyle F'(x)=f(x)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5457591f5410f4bfe3b9c9fa2e50ae665fa2822c) |
Пазначэнне ў формуле |
![{\displaystyle F}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57) |
Закрыць
Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам[1] і пазначаецца сімвалам
![{\displaystyle \int f(x)\,dx.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbae4f208c1a8c2f6ed7a0cee104f8710e39dee)
Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.
- Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C — адвольная сталая[2].
Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай
![{\displaystyle \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfb28a0af0e9fe18ec67b9da390e7d5139d614c)
![{\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c67cc77a6dbcedfdcc4c26147b3957a009dc68)
- Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам
![{\displaystyle d\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365ebd289a907e4ae2dde707683477109752c2c7)
![{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b319e586d269e916685df378d0d7beea5a069c4)
Лінейнасць нявызначанага інтэграла
- Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады
![{\displaystyle \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c20c81a636fc1cd4f6f747c22f7dbf9dab2aeb)
- Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:
![{\displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d113005dbf3f10eb75ed5af13f5b6a2ee1c6aa47)
Сувязь з інтэгралам Рымана
Асноўны артыкул: формула Ньютана-Лейбніца
- Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой
![{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d15c2b12084006197e6b0cbee582a4248b5b06)
ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] [2].
- Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай F(x) ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b], тады праўдзіцца роўнасць
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f921573d7813303f3e7f2ea681df0fcd219096c)
называная формулай Ньютана-Лейбніца.
Асноўны артыкул: Метады інтэгравання
Лінейныя пераўтварэнні
- Метад раскладання. Калі
![{\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408cdf74cdad6efe108ccd07824d1e708f4561bc)
- то
![{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g_{1}(x)\,dx+\int g_{2}(x)\,dx.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e516e6e47b02cb6ce092c61b07f28aab5a5ab0c)
Метад падстаноўкі
- Увядзенне новага аргумента. Калі
![{\displaystyle \int g(x)\,dx=G(x)+C,\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87f8f48c589eca08fc45e7ed49c30449d73166d)
- то
![{\displaystyle \int g(u)\,du=G(u)+C,\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a702f57d7ad65443376a764b8e99b8dbc0c83b7)
- дзе
— непарыўна дыферэнцавальная функцыя.
- Метад падстаноўкі. Калі
— непарыўная, то, прымаючы
![{\displaystyle x=\varphi (t),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2395b05ff3f6abee915a8ab0f870be252e4d37f)
- дзе
— непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем
![{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g(\varphi (t))\,\varphi '(t)\,dt.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab86b322338c3b8f2e086e8f1f408f91d4f785ee)
Інтэграванне па частках
- Метад інтэгравання па частках. Калі
і
— нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад x, то
![{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101c5637d9f654118ced9556041226e9a2c53ae0)
- Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.
- Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.
Прыклад:
![{\displaystyle \int \limits _{1}^{z}{\frac {dt}{t}}=\operatorname {Ln} z}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82e12335468e26a5f2d6873a41e4ee38dac134e)
Асноўны артыкул: Спіс інтэгралаў
У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй
(тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная).
Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы[3]:
![{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {e^{x}}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {dx}{\ln x}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d28f70847a3cb126a0897c8694240c953f3a69a)
У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый[2][3]:
![{\displaystyle \int 0\,dx=C;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c508cd5adc8ff2d09fb9a3566e598867023f2c7a)
![{\displaystyle \int 1\,dx=x+C;}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f373d49b87a97669c8fa72116e804eeae37bb15d)
![{\displaystyle \int x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\qquad (\alpha \neq -1);\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c3d695d4f4cd7c7979f1289c232e8541febf19)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad551e22ebbcfdd263879ba023e9d1ed5b7f4af)
![{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69cf2909e74b9b2d692d112025d94cb69c56a333)
![{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\qquad (a>0,\ a\neq 1);\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1180267154ef52f96acb1d6e5fd759b201bd42ba)
![{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b52e997b4cc61f82bd40d14ae545f2e2100b20)
![{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4f46d3f023ebdb874fa84cbabc14315f0074b6)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0999b2a2c44a9ffa96dff49978c2ffeddad6351b)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13e66ba7147c6dff29de8f51e59911e4f2fb541)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_{1},\qquad (C_{1}={\frac {\pi }{2}}+C);\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346c999b54346f92af63c23d4bd7ce2385ea0472)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d901b6a09274c6f0e65bb6526325f8a44b2d0901)
![{\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf56a30a103e9d0f13f041934bb0aa8451f8c4d9)
![{\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C;\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d174df08fe51e7aa855d1dff9a99697614a42ca)
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 2.
Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.