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Rotación

Rotación

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Rotación
Rotación en físicaConceutu de rotación y revoluciónMovimientu rotatoriuRotación infinitesimalVelocidá angularDinámica de rotaciónExa de rotaciónRotación en matemátiquesIntroducción matemáticaRotaciones nel planuEspresión matricialEspresión por aciu númberos complexosTeorema de rotación de EulerRotaciones nel espaciuEspresión vectorialEspresiones matricialesEspresiones vectorialesÁngulos de EulerParámetros de Euler-Rodrigues y cuaternionesTeoría de gruposRotaciones frente a traslacionesRotaciones frente a reflexones ya inversionesPerceición de les rotacionesVer tamiénReferenciesBibliografía

Rotación ye'l movimientu de cambéu d'orientación d'un cuerpu o un sistema de referencia de forma que una llinia (llamada exa de rotación) o un puntu permanez fixu.

Datos rápidos Situación, Datos ...
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La rotación d'un cuerpu representar por aciu un operador qu'afecta a un conxuntu de puntos o vectores. El movimientu rotatoriu representar por aciu el vector velocidá angular ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}, que ye un vector de calter esnidiosu y asitiáu sobre la exa de rotación. Cuando la exa pasa pel centru de masa o de gravedá dizse que'l cuerpu «xira sobre sí mesmu».

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La rotación tamién puede ser oscilatoria, como nel pendilexu (esquierda). Los xiros son completos solo cuando la enerxía ye lo suficientemente alta (derecha). El gráficu cimeru amuesa la trayeutoria nel espaciu fásico.

N'inxeniería mecánica, llámase revolución a una rotación completa d'una pieza sobre la so exa (como na unidá de revoluciones per minutu), ente que n'astronomía usa esta mesma pallabra pa referise al movimientu orbital de traslación d'un cuerpu alredor d'otru (como los planetes alredor del Sol).

Conceutu de rotación y revolución

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Animación de dos oxetos orbitando alredor d'un centru de mases común, exemplu de revolución.
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Exemplu de rotación.
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Exemplu de revolución.
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El movimientu de la estructura d'una noría correspuende a un movimientu de rotación. Otra manera, les barquillas de la noria realicen un movimientu de traslación o revolución con trayeutoria circular.

N'astronomía ye habitual estremar ente'l movimientu de rotación y el de revolución colos siguientes sentíos:

  • La rotación d'un cuerpu alredor d'un exa (esterior o interior al cuerpu) correspuende a un movimientu nel que los distintos puntos del cuerpu presenten velocidaes que son proporcionales a la so distancia a la exa. Los puntos del cuerpu asitiaos sobre la exa (nel casu de qu'ésti sía interior al cuerpu) permanecen en reposu.
    • La orientación del cuerpu nel espaciu camuda de cutio mientres la traslación.
    • Un exemplu de rotación ye'l de la Tierra alredor del so propiu exa de rotación, con un periodu de rotación d'un día sidéreo.
  • La revolución d'una partícula o d'un cuerpu estensu correspuende a un movimientu de traslación del cuerpu alredor d'otru.
    • Un exemplu de revolución ye'l de la Tierra alredor del Sol, con un periodo de revolución d'un añu.

La distinción ente rotación y revolución ta acomuñada cola esistente ente rotación y traslación d'un cuerpu estensu. Si la velocidá de traslación ye constante (v=cte), cada unu de los puntos del sólidu va percorrer una trayeutoria rectillinia con celeridad constante y toes eses trayectories van ser paraleles ente sigo (movimientu de traslación uniforme). Pero, polo xeneral, la velocidá de traslación nun tien por que ser constante y la trayeutoria puede ser curvillinia.

Les trayectories percorríes polos distintos puntos del cuerpu pueden ser circunferencies, toes elles del mesmu radiu (congruentes) anque de distintu centru. Esta situación presentar nuna noria de feria d'exa horizontal, como s'amuesa na figura: l'armadura de la noria xira en redol a la exa (rotación), pero les barquillas suspendíes de dicha armadura, prescindiendo de pequeñes oscilaciones pendulares, esperimenten una traslación con trayectories circulares.

Movimientu rotatoriu

Rotación infinitesimal

Nuna rotación nun ángulu infinitesimal δθ, puede tomase cos δθ ≈ 1 y sen δθ ≈ δθ, de cuenta que la espresión de la rotación plana pasa a ser:

r ′ = r + δ θ ( o × r ) {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\delta \theta (\mathbf {o} \times \mathbf {r} )} {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} +\delta \theta (\mathbf {o} \times \mathbf {r} )}

Si compónense dos rotaciones infinitesimales y, por ello, refúguense los términos d'orde cimeru al primeru, compruébase que tienen la propiedá conmutativa, que nun tienen les rotaciones tridimensionales finitas.

Matemáticamente el conxuntu de les rotaciones infinitesimales nel espaciu euclideo formen el álxebra de Lie s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}, acomuñada al grupu de Lie SO(3)

Velocidá angular

Artículu principal: Cinemática del sólidu ríxidu

Dau un sólidu ríxidu que rota alredor d'una exa, la velocidá llinial v d'una partícula puede espresase a partir de la velocidá angular ω:

v = d r d t = ω × r {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} } {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

Ente que l'aceleración a ye:

a = d v d t = α × r + ω × ( ω × r ) {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )} {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}

Si'l sólidu ríxidu amás de rotar alredor d'una exa tien un movimientu adicional de traslación con velocidá instantánea V entós les fórmules anteriores deben substituirse por:

v = d r d t = ω × r + V {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {V} } {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\mathbf {V} }

a = d v d t = α × r + ω × ( ω × r ) + 2 ω × V + d V d t {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {V} +{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}} {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {V} +{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}

Dinámica de rotación

La velocidá angular de rotación ta rellacionada col momentu angular. Pa producir una variación nel momentu angular ye necesariu actuar sobre'l sistema con fuercies qu'exerzan un momentu de fuercia. La rellación ente'l momentu de les fuercies qu'actúen sobre'l sólidu y l'aceleración angular conozse como momentu d'inercia (I) y representa la inercia o resistencia del sólidu a alteriar el so movimientu de rotación.

La enerxía cinética de rotación escríbese:

Y c = 1 2 ω ⋅ ( I ω ) {\displaystyle Y_{c}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})} {\displaystyle Y_{c}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}

siendo I {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {I} } {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {I} } el tensor momentu d'inercia. La espresión del teorema del trabayu en movimientos de rotación puede espresase asina:

Δ Y c = M ⋅ Δ θ {\displaystyle \Delta Y_{c}=\mathbf {M} \cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}} {\displaystyle \Delta Y_{c}=\mathbf {M} \cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}}

de cuenta que, la variación de la enerxía cinética del sólidu ríxidu ye igual al productu angular del momentu de les fuercies pol vector representativu del ángulu xiráu ( Δ θ {\displaystyle \Delta \theta } {\displaystyle \Delta \theta }).

Exa de rotación

Magar se define la rotación como un movimientu de rotación alredor d'una exa, tien de tenese presente que dichu exa de rotación puede dir camudando'l so enclín a lo llargo del tiempu. Asina asocede cola exa de rotación terrestre y polo xeneral cola exa de rotación de cualquier sólidu en rotación que non presente simetría esférica. Pa un planeta, o polo xeneral cualquier sólidu en rotación, sobre'l que nun actúa un momentu de fuercia par de fuercia el momentu angular caltiénse constante, anque eso nun implica que la so exa de rotación sía fixu. Pa una peonza simétrica, esto ye, un sólidu tal que dos de los sos momento d'inercia principales sían iguales y el terceru distintu, la exa de rotación xira alredor de la direición del momentu angular. Los planetes con bien bonu aproximamientu son esferoides esnachaos nos polos, lo cual convertir nuna peonza simétrica, por esa razón la so exa de xiru esperimenta una rotación conocida como precesión. La velocidá angular de precesión vien dada pol cociente ente'l momentu angular de rotación y el menor de los momentos d'inercia del planeta:

ϕ ˙ p r e c = L I min {\displaystyle {\dot {\phi }}_{prec}={\frac {L}{I_{\min }}}} {\displaystyle {\dot {\phi }}_{prec}={\frac {L}{I_{\min }}}}

L'el casu d'esistencia d'asimetría axial el planeta ye una peonza asimétrica y amás la exa de xiru puede realizar un movimientu de nutación.

Introducción matemática

El tratamientu detalláu de les rotaciones foi oxetu de numberosos trabayos matemáticos, qu'enceten el problema dende diversos puntos de vista y graos de sofisticación: cuaterniones, matrices, operadores vectoriales, teoría de grupos... Toos estos enfoques son matemáticamente equivalentes y pueden derivase unos d'otros, salvu en dellos aspeutos concretu y posible resultancies redundantes, y la eleición d'unu o otru depende del problema concretu. Cola llegada de la robótica y los gráficos informáticos, la matemática de les rotaciones cobró un nuevu impulsu y pasó a ser una materia d'estudiu bien activu, con particular énfasis nel enfoque basáu en cuaterniones.

En matemátiques les rotaciones son tresformamientos lliniales que caltienen les normes (esto ye, son isométricas) n'espacios vectoriales nos que se definió una operación de productu interior y que la so matriz tien la propiedá de ser ortogonal y de determinante igual a ±1. Si'l determinante ye +1 llámase rotación mesma y si ye −1, amás d'una rotación propia hai una inversión o reflexón y fálase de rotación impropia.[1]

El caltenimientu de la norma ye equivalente al caltenimientu del productu interior, que puede espresase como:

R a ⋅ R b = a ⋅ b {\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {a} \cdot {\mathcal {R}}\mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} } {\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {a} \cdot {\mathcal {R}}\mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }

Consecuencia d'ella ye que les distancies y les formes tamién se caltienen.

Como parámetru que determina la rotación puede usase un vector (que tien calter esnidiosu) de la exa de rotación y de llargor proporcional al ángulu de rotación. Sicasí, lo normal ye dixebrar esti vector nel ángulu y un vector unitariu, lo que nel espaciu da cuatro parámetros.[2] De resultes hai dos formes de representar una única rotación, pos

R ( θ , a ) = R ( − θ , − a ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(\theta ,\mathbf {a} )={\mathcal {R}}(-\theta ,-\mathbf {a} )} {\displaystyle {\mathcal {R}}(\theta ,\mathbf {a} )={\mathcal {R}}(-\theta ,-\mathbf {a} )}

Rotaciones nel planu

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Cambéu de base o rotación d'un vector.

Sía un vector A nel planu cartesianu definíu polos sos componentes x y y, descritu vectorialmente al traviés de los sos componentes:

A = [ A x A y ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}} {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}}

La operación de rotación del puntu señaláu por esti vector alredor d'una exa de xiru puede siempres escribise como l'acción d'un operador llinial (representáu por una matriz) actuando sobre'l vector (multiplicando al vector:

R A = A ′ {\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {A} =\mathbf {A} '} {\displaystyle {\mathcal {R}}\mathbf {A} =\mathbf {A} '}

Espresión matricial

En dos dimensiones la matriz de rotación pal vector dau puede escribise de la manera siguiente:

R = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}} {\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}

Al faer l'aplicación del operador, esto ye, al multiplicar la matriz pol vector, vamos llograr un nuevu vector A' que foi rotado nun ángulu θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } en sentíu antihorario:

[ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] [ A x A y ] = [ A x ′ A y ′ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'_{x}\\A'_{y}\end{bmatrix}}}

siendo : A x ′ = A x cos ⁡ θ − A y sin ⁡ θ {\displaystyle A'_{x}=A_{x}\cos \theta -A_{y}\sin \theta \,} {\displaystyle A'_{x}=A_{x}\cos \theta -A_{y}\sin \theta \,}

A y ′ = A x sin ⁡ θ + A y cos ⁡ θ {\displaystyle A'_{y}=A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,} {\displaystyle A'_{y}=A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta \,}

les componentes del nuevu vector dempués de la rotación.

Espresión por aciu númberos complexos

Les rotaciones nel planu pueden tratase igualmente por aciu númberos complexos, yá que yiα ye una rotación d'ángulu a:

( x , y ) ∈ R 2 → x + i y = ρ y i ϕ ∈ C → r o t z = y i α ( ρ y i ϕ ) → ( R e ( z ) , I m ( z ) ) = y ( ρ cos ⁡ ( ϕ + α ) , ρ sin ⁡ ( ϕ + α ) ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\rightarrow x+iy=\rho y^{i\phi }\in \mathbb {C} {\xrightarrow {\mathrm {rot} }}z=y^{i\alpha }(\rho y^{i\phi })\rightarrow (\mathrm {Re} (z),\mathrm {Im} (z))=y(\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))\in \mathbb {R} ^{2}} {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\rightarrow x+iy=\rho y^{i\phi }\in \mathbb {C} {\xrightarrow {\mathrm {rot} }}z=y^{i\alpha }(\rho y^{i\phi })\rightarrow (\mathrm {Re} (z),\mathrm {Im} (z))=y(\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))\in \mathbb {R} ^{2}} ( ρ cos ⁡ ( ϕ + α ) , ρ sin ⁡ ( ϕ + α ) ) = ( x cos ⁡ ( α ) − y sin ⁡ ( α ) , x sin ⁡ ( α ) + y cos ⁡ ( α ) ) {\displaystyle (\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))=(x\cos(\alpha )-y\sin(\alpha ),x\sin(\alpha )+y\cos(\alpha ))} {\displaystyle (\rho \cos(\phi +\alpha ),\rho \sin(\phi +\alpha ))=(x\cos(\alpha )-y\sin(\alpha ),x\sin(\alpha )+y\cos(\alpha ))}

El grupu de rotaciones en dos dimensiones ye isomorfu al grupu de Lie, ortogonal especial SO(2) que de la mesma ye isomorfu al grupu unitariu O(1).

Teorema de rotación de Euler

En matemátiques, el teorema de rotación de Euler diz que cualquier rotación o conxuntu de rotaciones socesives puede espresase siempres como una rotación alredor d'una única direición o exa de rotación principal. D'esta miente, toa rotación (o conxuntu de rotaciones socesives) nel espaciu tridimensional pue ser especificada al traviés de la exa de rotación equivalente definíu vectorialmente por trés parámetros y un cuartu parámetru representativu del ángulu rotado. Xeneralmente denominar a estos cuatro parámetros graos de llibertá de rotación.

Rotaciones nel espaciu

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Los trés rotaciones planes de los ángulos de Euler. Na primera la exa ye z, qu'apunta escontra riba y xira les exes x y y; na segunda la exa ye x, qu'apunta escontra'l frente y qu'inclina la exa z, y na postrera de nuevu la exa ye z.

Les rotaciones tridimensionales revisten especial interés práuticu por correspondese cola xeometría del espaciu físicu en que vivimos (naturalmente siempres que se consideren rexones d'escala mediana, yá que pa distancies grandes la xeometría nun ye puramente euclídea). En tres dimensiones convien estremar ente les rotaciones planes o rectangulares, que son aquelles nes que'l vector rotado y el que determina la exa de xiru formen un ángulu rectu, y les cóniques, nes que l'ángulu ente estos vectores nun ye rectu. Les rotaciones planes son de tratamientu matemáticu más simple, pos pueden amenorgase al casu bidimensional descritu más arriba, ente que les cóniques son muncho más complexes y polo xeneral trátense como una combinación de rotaciones planes (especialmente los ángulos de Euler y los parámetros de Euler-Rodrigues).

Espresión vectorial

La espresión vectorial de les rotaciones cóniques ye:

r ′ = r cos ⁡ θ + ( o × r ) sin ⁡ θ + o ( o ⋅ r ) ( 1 − cos ⁡ θ ) {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} \cos \theta +(\mathbf {o} \times \mathbf {r} )\sin \theta +\mathbf {o} (\mathbf {o} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )} {\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} \cos \theta +(\mathbf {o} \times \mathbf {r} )\sin \theta +\mathbf {o} (\mathbf {o} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )}

onde:

r , r ′ {\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {r} '} {\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {r} '} representen los vectores posición d'un puntu antes y dempués de la operación de rotación.
o {\displaystyle \mathbf {o} } {\displaystyle \mathbf {o} } ye un vector unitariu que coincide cola direición d'exa de xiru.
θ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta \in [0,2\pi )} {\displaystyle \theta \in [0,2\pi )} ye'l valor del ángulu xiráu.
⋅ , × {\displaystyle \cdot ,\times } {\displaystyle \cdot ,\times }, denotan respeutivamente el productu angular y el productu vectorial.

Espresiones matriciales

Matricialmente esti productu puede escribise de delles maneres, bien como matriz ortogonal:

r ′ = R θ , o ( r ) ⇔ {\displaystyle \mathbf {r} '={\mathcal {R}}_{\theta ,\mathbf {o} }(\mathbf {r} )\quad \Leftrightarrow \quad } {\displaystyle \mathbf {r} '={\mathcal {R}}_{\theta ,\mathbf {o} }(\mathbf {r} )\quad \Leftrightarrow \quad } [ x ′ y ′ z ′ ] = [ C 2 + S 2 ( o x 2 − o y 2 − o z 2 ) 2 S ( E l s o x o y − C o z ) 2 S ( S o x o z + C o y ) 2 S ( S o x o y + C o z ) C 2 + S 2 ( o y 2 − o x 2 − o z 2 ) 2 S ( S o y o z − C o x ) 2 S ( S o x o z − C o y ) 2 S ( S o y o z + C o x ) C 2 + S 2 ( o z 2 − o x 2 − o y 2 ) ] [ x y z ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C^{2}+S^{2}(o_{x}^{2}-o_{y}^{2}-o_{z}^{2})&2S(Elso_{x}o_{y}-Co_{z})&2S(So_{x}o_{z}+Co_{y})\\2S(So_{x}o_{y}+Co_{z})&C^{2}+S^{2}(o_{y}^{2}-o_{x}^{2}-o_{z}^{2})&2S(So_{y}o_{z}-Co_{x})\\2S(So_{x}o_{z}-Co_{y})&2S(So_{y}o_{z}+Co_{x})&C^{2}+S^{2}(o_{z}^{2}-o_{x}^{2}-o_{y}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}} {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C^{2}+S^{2}(o_{x}^{2}-o_{y}^{2}-o_{z}^{2})&2S(Elso_{x}o_{y}-Co_{z})&2S(So_{x}o_{z}+Co_{y})\\2S(So_{x}o_{y}+Co_{z})&C^{2}+S^{2}(o_{y}^{2}-o_{x}^{2}-o_{z}^{2})&2S(So_{y}o_{z}-Co_{x})\\2S(So_{x}o_{z}-Co_{y})&2S(So_{y}o_{z}+Co_{x})&C^{2}+S^{2}(o_{z}^{2}-o_{x}^{2}-o_{y}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}

Onde:

r = ( x , y , z ) , r ′ = ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z),\mathbf {r} '=(x',y',z')} {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z),\mathbf {r} '=(x',y',z')}
o = ( o x , o y , o z ) {\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y},o_{z})} {\displaystyle \mathbf {o} =(o_{x},o_{y},o_{z})}
C = cos ⁡ ( θ / 2 ) , S = sin ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle C=\cos(\theta /2),S=\sin(\theta /2)} {\displaystyle C=\cos(\theta /2),S=\sin(\theta /2)}

Puede comprobase con un pocu d'álxebra rutinaria que la matriz anterior tien como autovalores:

{ 1 , C + i S , C − i S } = { 1 , y i θ , y − i θ } {\displaystyle \{1,C+iS,C-iS\}=\{1,y^{i\theta },y^{-i\theta }\}} {\displaystyle \{1,C+iS,C-iS\}=\{1,y^{i\theta },y^{-i\theta }\}}

La direición principal (recta xenerada por un vector propiu) asociaciada al autovalor 1 ye precisamente'l vector o {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {o} } {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {o} } que da la direición d'exa de xiru.

Espresiones vectoriales

Puede describise el movimientu de rotación cónica con operadores vectoriales que, al contrariu que les espresiones matriciales, son independientes de les coordenaes. Asina,[3]

r ′ = ( ( 1 − cos ⁡ θ ) u u + cos ⁡ θ + s e n ⁡ θ o ~ ) ⋅ r {\displaystyle \mathbf {r} '=((1-\cos \theta )\mathbf {uu} +\cos \theta +\mathop {\mathrm {sen} } \theta {\tilde {\mathbf {o} }})\cdot \mathbf {r} } {\displaystyle \mathbf {r} '=((1-\cos \theta )\mathbf {uu} +\cos \theta +\mathop {\mathrm {sen} } \theta {\tilde {\mathbf {o} }})\cdot \mathbf {r} }

onde la espresión ente paréntesis funciona como operador y o ~ = I × o {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}=\mathbf {I} \times \mathbf {o} } {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}=\mathbf {I} \times \mathbf {o} }, de cuenta que o ~ ⋅ r = o × r {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}\cdot \mathbf {r} =\mathbf {o} \times \mathbf {r} } {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}\cdot \mathbf {r} =\mathbf {o} \times \mathbf {r} }.[4] Hai ciertos casos especiales d'esti operador:

  • o ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}} {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}} ye una rotación plana de (1/2)π rad. L'aplicación socesiva d'esti operador da o ~ 2 = − 1 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{2}=-1} {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{2}=-1}, o ~ 3 = − o ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{3}=-{\tilde {\mathbf {o} }}} {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{3}=-{\tilde {\mathbf {o} }}}, o ~ 4 = 1 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{4}=1} {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{4}=1}, o ~ 5 = o ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{5}={\tilde {\mathbf {o} }}} {\displaystyle {\tilde {\mathbf {o} }}^{5}={\tilde {\mathbf {o} }}}, etc., con un comportamientu paecíu a la unidá imaxinaria (i).[5] Ye un operador hemisimétrico y en coordenaes castesianas la so matriz ye:

( 0 − o z o y o z 0 − o x − o y o x 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{0}&-o_{z}&o_{y}\\o_{z}&{0}&-o_{x}\\-o_{y}&o_{x}&{0}\\\end{pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}{0}&-o_{z}&o_{y}\\o_{z}&{0}&-o_{x}\\-o_{y}&o_{x}&{0}\\\end{pmatrix}}}

  • cos ⁡ θ + sin ⁡ θ o ~ {\displaystyle \cos \theta +\sin \theta {\tilde {\mathbf {o} }}} {\displaystyle \cos \theta +\sin \theta {\tilde {\mathbf {o} }}} ye una rotación plana d'ángulu θ. Una notación alternativa ye y o ~ θ {\displaystyle \mathrm {y} ^{{\tilde {\mathbf {o} }}\theta }} {\displaystyle \mathrm {y} ^{{\tilde {\mathbf {o} }}\theta }} (por semeyanza colos númberos complexos). La forma matricial d'esti operador nes exes cartesianes principales ye particularmente senciella; por casu, pa i ye:

R = [ 1 0 0 0 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}} {\displaystyle {\mathcal {R}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}

  • 2 u u − 1 {\displaystyle 2\mathbf {uu} -1} {\displaystyle 2\mathbf {uu} -1} ye una rotación cónica binaria (de π rad). Una rotación cónica arbitraria d'ángulu θ puede representase con dos rotaciones binaries, perpendiculares a o {\displaystyle \mathbf {o} } {\displaystyle \mathbf {o} } y que formen un ángulu (1/2)θ;[6] la manipulación d'esti par de rotaciones binaries (o, de manera equivalente, de dos cavilgues) puede tomase como la base pa la descripción por aciu los parámetros de Euler-Rodrigues. Asina, el segundu d'estes exes llograr por aciu una rotación plana del primeru con cos ⁡ 1 2 θ + s e n ⁡ 1 2 θ o ~ {\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}\theta +\mathop {\mathrm {sen} } {\frac {1}{2}}\theta {\tilde {\mathbf {o} }}} {\displaystyle \cos {\frac {1}{2}}\theta +\mathop {\mathrm {sen} } {\frac {1}{2}}\theta {\tilde {\mathbf {o} }}}, que da los cuatro parámetros:

λ = o x s e n ⁡ θ / 2 μ = o y sin ⁡ θ / 2 ν = o z sin ⁡ θ / 2 ρ = cos ⁡ θ / 2 {\displaystyle \lambda =o_{x}\mathop {\mathrm {sen} } \theta /2\qquad \mu =o_{y}\sin \theta /2\qquad \nu =o_{z}\sin \theta /2\qquad \rho =\cos \theta /2} {\displaystyle \lambda =o_{x}\mathop {\mathrm {sen} } \theta /2\qquad \mu =o_{y}\sin \theta /2\qquad \nu =o_{z}\sin \theta /2\qquad \rho =\cos \theta /2}

Ángulos de Euler

Artículu principal: Ángulos de Euler

Por aciu los ángulos de Euler puede representase una rotación cualesquier con una socesión de tres rotaciones planes alredor de tres eje ortogonales. Nun hai alcuerdu sobre los trés exes concretes y na lliteratura científica apaecen diversos convenios; hai, en concretu, 12 posibilidaes, pero lo más habitual ye que se tomen zyz y zxz. A estos 12 convenios hai qu'añader posibles variaciones nel signu, orientación relativa d'exes (horariu o antihorario) y puntu de vista (operación en vectores o tresformamientu de coordenaes).[7]

Los ángulos de Euler fueron el sistema más popular nos sieglos XIX y XX pa representar les rotaciones, pos dexen modelizar fácilmente dellos sistemes mecánicos, como los trompos, los xiroscopios, los barcos y los aviones. Nel casu del trompu, les exes corresponder cola precesión, la nutación y la rotación. Nos aviones tómense como exes xyz, de cuenta que se correspuendan col alabeo (o valumbu en barcos), el cabecio y la chisgada; esti conveniu específicu d'exes llámase tamién ángulos de navegación o de Tait-Bryan.

Los ángulos de Euler presenten una singularidá cuando l'ángulu del segundu xiru ye 0 o π, pos en tal casu'l primer ángulu y el segundu pasen a quedar indefiníos, y solo ta definida la so suma, si l'ángulu ye 0. Con ello pierde un grau de llibertá, lo que nos dispositivos mecánicos que combinen delles exes, como los xiroscopios, puede conducir a un bloquéu del sistema, conocíu como bloquéu de cardán (n'inglés, gimbal lock). Matemáticamente, ye posible evitar estes singularidaes con sistemes de cuatro parámetros, como los parámetros de Euler-Rodrigues (o cuaterniones).

Parámetros de Euler-Rodrigues y cuaterniones

Los cuaterniones apurren un métodu pa representar rotaciones que nun presenten singularidaes a cuenta de ser redundantes. Pueden introducise axiomáticamente o derivase a partir de rotaciones vectoriales, cuantimás por aciu la construcción de Euler-Rodrigues.[8]

Históricamente, los cuatro parámetros que formen los cuaterniones fueron introducíos de manera independiente y con distintos tratamientos matemáticos y xeométricos por Gauss, Rodrigues y Hamilton, ente otros, anque aparentemente Euler, a pesar del nome, desconocer. Rodrigues llegó a ellos por aciu trigonometría esférica como una combinación de reflexones; Hamilton, pocu dempués, formular de manera axomática como una estensión de los númberos complexos. En mecánica cuántica tamién se llegó a ellos coles matrices de Pauli.

En tres dimensiones esiste una construcción similar a la de los númberos complexos de módulu unidá pa representar les rotaciones nel planu. La construcción clave mora n'identificar los vectores tridimensionales con númberos cuaterniónicos con parte real nula, y usar los trés componentes como coeficientes de la parte non real. La rotación puede representase como un productu conxugáu por un cuaternión unitariu llográu por exponenciación d'un cuaternión igual al productu del ángulu xiráu pol cuaternión que representa a la exa de xiru.

Dau un vector tridimensional v {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} } {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} } rerepsentable como un númberu cuaterniónico con parte real nula, y una rotación tridimensional dada por un xiru α {\displaystyle \scriptstyle \alpha } {\displaystyle \scriptstyle \alpha } en redol a la exa n {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} } {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {n} } puede representase el vector xiráu resultante como:

{ v ∈ R 3 ↦ v = 0 + v x i + v y j + v z k ∈ H v ′ = R n , α ( v ) ↦ y α ( n x i + n y j + n z k ) / 2 ⋅ v ⋅ y − α ( n x i + n y j + n z k ) / 2 {\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}\mapsto v=0+v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \in \mathbb {H} \\\mathbf {v} '=R_{\mathbf {n} ,\alpha }(\mathbf {v} )\mapsto y^{\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\cdot v\cdot y^{-\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\end{cases}}} {\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}\mapsto v=0+v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} \in \mathbb {H} \\\mathbf {v} '=R_{\mathbf {n} ,\alpha }(\mathbf {v} )\mapsto y^{\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\cdot v\cdot y^{-\alpha (n_{x}\mathbf {i} +n_{y}\mathbf {j} +n_{z}\mathbf {k} )/2}\end{cases}}}

Esti enfoque ta rellacionáu col álxebra xeométrica y los vectores i, j y k siguen les regles alxebraiques de los cuaterniones (i2 = −1, etc.). El productu de dos rotaciones vien dau, en términos de vectores ordinarios, por:[9]

[ 0 , A ] [ 0 , B ] = [ − A ⋅ B , A × B ] {\displaystyle [0,\mathbf {A} ][0,\mathbf {B} ]=[-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ,\mathbf {A} \times \mathbf {B} ]} {\displaystyle [0,\mathbf {A} ][0,\mathbf {B} ]=[-\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ,\mathbf {A} \times \mathbf {B} ]}

onde [a, b] representa un cuaternión con parte real a y parte non real b.

Teoría de grupos

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Una rotación d'un sestu de vuelta completa (2π/6) alredor d'una exa que traviesa la pantalla dexa igual la molécula de bencenu, polo qu'hai una simetría rotacional (ente otres).

En teoría de grupos, la rotación ye una de los posibles tresformamientos que pueden aplicase a un sistema o una figura xeométrica, que dexen determinar la simetría de redes cristalográfiques, orbitales atómicos y molécules, y per tanto parte de les sos propiedaes físicu-químiques. Otres tranformaciones son la traslación, la reflexón y l'inversión.

Rotaciones frente a traslaciones

En mecánica demuéstrase que'l movimientu del sólidu ríxidu puede descomponese nuna rotación y una traslación. Dambes tresformaciones son isométricas, como correspuende al fechu de que'l sólidu ye ríxidu, pero na rotación, al contrariu que na traslación, hai siquier un puntu fixu. El conxuntu d'estos tresformamientos forma un grupu llamáu grupu euclidianu que ye'l grupu de isometría del espaciu euclidianu tridimensional. Cada elementu g d'esti grupu euclidianu puede representase de manera única como:[10]

g → ( R d 0 1 ) ∈ G L ( 4 , R ) {\displaystyle g\to {\begin{pmatrix}R&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{pmatrix}}\in \mathrm {GL} (4,\mathbb {R} )} {\displaystyle g\to {\begin{pmatrix}R&\mathbf {d} \\\mathbf {0} &1\end{pmatrix}}\in \mathrm {GL} (4,\mathbb {R} )}

onde R ye una matriz de 3x3 que representa una rotación y d les componentes del vector de trés componentes que representa'l desplazamientu. Por tanto esta manera de representar el grupu ye una representación llinial sobre un espaciu vectorial de dimensión cuatro.

Rotaciones frente a reflexones ya inversiones

Estos trés tresformamientos llámense tranformaciones puntales pos dexen un puntu fixu, y tán estrechamente rellacionaes. Asina, dos cavilgues según dos planos equivalen a una rotación.

La composición de dos rotaciones tridimensionales ye otra rotación, polo qu'estes formen un grupu, llamáu O(3) y qu'inclúi les reflexones. Les rotaciones propies son un subgrupu, llamáu SO(3), pero non les rotaciones impropies, pos dos d'elles equivalen a una rotación propia.

Resultáu.
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Imaxe orixinal de la composición.

La imaxe amuesa un artificiu pa crear la ilusión d'una rotación en 3D a partir d'una imaxe en 2D. Ta formada per partes acutaes una detrás d'otra, de cuenta que'l nuesu celebru interpreta como una rotación d'alcuerdu a los datos que sobre l'oxetu (la cabeza) retién la nuesa memoria.

  • Traslación (xeometría)
  • Cinemática del sólidu ríxidu
  • Movimientos de la Tierra
  • Nutación
  • Precesión
  • Traslación de la Tierra
  • Avalumbu de Chandler
  • Movimientu circular
  • Datos de los planetes del Sistema Solar
  1. [1]
    Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 52
  2. [2]
    Altmann, p 65
  3. [3]
    Donald H. Menzel, Mathematical Physics, New York, Dover, 1961, p. 90 (la notación ye daqué distinta)
  4. [4]
    Jerrold Y. Marsden, Tudor S. Ratiu, Introduction to Mechanics and Symmetry, Springer, 2010, p. 289 (la notación ye daqué distinta).
  5. [5]
    J. Willard Gibbs, Edwin Bidwell Wilson, Vector Analysis, New Haven, Yale Univ. Press, 1947, p. 299
  6. [6]
    Gibbs, Wilson, p. 343-344
  7. [7]
    Granino A. Korn, Theresa M. Korn, Mathematical handbook for scientists and engineers, New York, Dover, 2000, p. 476-478
  8. [8]
    Simon L. Altmann, Rotations, quaternions, and double groups, New York, Dover, 2005, p. 155-159
  9. [9]
    Altamann, p. 203
  10. [10]
    Marsden, Ratio, p.649

Bibliografía

  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Rotation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.



  • Wd Datos: Q107617
  • Commonscat Multimedia: Rotation
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Rotación en física

Rotación en matemátiques

Perceición de les rotaciones

Ver tamién

Referencies