Ecuación diofántica

Llámase "ecuación diofántica" o "ecuaciones diofantinas" a cualesquier ecuación alxebraica, de dos o más incógnites, que los sos coeficientes percuerren el conxuntu de los númberos enteros, de les que se busquen soluciones enteres, esto ye, que pertenezan al conxuntu de los númberos enteros. Les ecuaciones diofánticas tienen la carauterística de tener soluciones infinites, siempres y cuando diches soluciones pertenezan al conxuntu de los númberos enteros. Les ecuaciones diofantinas tienen siempres la forma; ${\displaystyle ax+by=c\,}$

Propiedá: Una condición necesario y abondo por que la ecuación ${\displaystyle ax+by=c\,}$ con ${\displaystyle a,b,c\,}$ perteneciente a los enteros, tenga solución ye que'l máximu común divisor de ${\displaystyle a\,}$ y ${\displaystyle b\,}$ estreme a ${\displaystyle c\,}$

Exemplu

Un exemplu d'ecuación diofántica ye: ${\displaystyle x+y=5\,}$

Esta ecuación tien infinites soluciones nos númberos enteros. Como regla xeneral, sicasí, les ecuaciones qu'apaecen nos problemes tienen restricciones que nos ayudar a llindanos a un pequeñu númberu de casos ya inclusive a una única solución.

Por casu, na nuesa ecuación, si acutamos los posibles valores de ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones pa ${\displaystyle (x,y)}$:

(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)

Un problema matemáticu bien famosu que se resuelve per mediu d'ecuaciones diofánticas ye'l del problema del monu y los cocos monu y los cocos.

Ecuación diofántica llinial

La ecuación diofántica ${\displaystyle Ax+By=C\,}$ o identidá de Bézout tien solución si y solu si d = mcd(A, B) (máximu común divisor) ye un divisor de C. Nesi casu la ecuación tien una infinidá de soluciones.

Similarmente la ecuación ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=C\,}$ tien solución si y solu si d = mcd(a₁, a₂,...,a_n) ye un divisor de C.

Solución xeneral

Supongamos la ecuación diofántica ${\displaystyle \scriptstyle Ax+By=C\,}$. Solo tien solución si ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {mcd} (A,B)=d|C\,}$. Pa buscar el ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {mcd} (A,B)}$ emplegamos l'algoritmu d'Euclides. Si una ecuación diofántica tien solución, necesariamente tien infinites soluciones y toes son de la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{1}+\lambda {\cfrac {B}{d}}\\y=y_{1}-\lambda {\cfrac {A}{d}}\end{cases}}}$

Onde ${\displaystyle \scriptstyle d=\mathrm {mcd} (A,B)}$ y ${\displaystyle \scriptstyle x_{1}}$ y ${\displaystyle \scriptstyle y_{1}}$ son una solución particular de la ecuación.

Esta solución pa númberos enteros oldea cola solución de la mesma ecuación cuando se considera que A, B, C, x y y son númberos reales, que ta formada por infinites soluciones de la forma: y = (C - x*A)/B (suponiendo B distintu de cero).

Solución particular

P'atopar una solución particular usamos la identidá de Bézout xunto al algoritmu d'Euclides. Esto danos ${\displaystyle x_{1}\,}$ y ${\displaystyle y_{1}\,}$. Veamos l'exemplu:

Tenemos la ecuación diofántica 6x + 10y = 104

1. Buscamos el d = mcd(6, 10). Al traviés del algoritmu d'Euclides atopamos que d  = 2.
2. Como d|C (onde "|" significa "estrema a"), esto ye, 2|104, Calculamos una solución particular por aciu la Identidá de Bézout: x₁ = 2 y y₁ = -1. La ecuación quedaría asina: 6 · 2 + 10 · (-1) = 2.
3. Agora tenemos una solución pa la ecuación 6x + 10y = 2. Con x₁ = 2 y y₁ = -1. Si multiplicamos cada parte de la ecuación por C/d (104 / 2 = 52), vamos tener la solución particular de la nuesa ecuación orixinal (6x + 10y = 104). La ecuación quedaría asina: 6 · 2 · 52 + 10 · (-1) · 52 = 104
4. Colo que vimos enriba, buscamos la solución xeneral:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rccl}x&=&(2\cdot 52)&+\lambda \cdot {\frac {10}{2}}\\y&=&(-1\cdot 52)&-\lambda \cdot {\frac {6}{2}}\end{array}}\right.\forall \lambda \in \mathbb {Z} }$

Ecuación pitagórica

Llámase ecuación pitagórica a la ecuación ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\,}$ con ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$. Cualquier terna (x, y, z) solución de la ecuación anterior conozse como terna pitagórica. Amás si (x, y, z) ye una terna pitagórica solución de la ecuación pitagórica tamién la serán:

1. La terna alternando x y y: (y, x, z).
2. Una terna múltiplu (ky, kx, kz).
3. Una terna con dalgún signu camudáu (-x, y, z), (x, -y, z) o (y, x, -z)
4. Cualesquier otra terna llograda por aciu una combinación de los procedimientos anteriores.

Dizse qu'una terna ye primitiva, si'l máximu común divisor de x, y, z ye la unidá, esto ye, mcd(x,y,z) = 1. En toa terna primitiva siquier unu de los númberos x o y ye par y z ye impar. Puede trate que neses condiciones toles ternes primitives que son soluciones de la ecuación pitagórica son de la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}x=o^{2}-v^{2}\qquad y=2uv\qquad z=o^{2}+v^{2}\\o,v\in \mathbb {N} \;\land \;o\neq v\ ({\mbox{mod}}\ 2)\;\land \;{\mbox{mcd}}(o,v)=1\end{cases}}}$

^[1]

Apurra de Platón

A Platón débese-y un apurra sobre'l casu cuando él formula como los llaos d'un triángulu rectángulu, en númberos enteros

${\displaystyle 2n,n^{2}-1,n^{2}+1}$

, ensin dala dulda nun tuvo influencia nel desenvolvimientu matemáticu xeneral.^[2]

Ternes pitagóriques

Cuando los númberos enteros positivos o, v, w representen los llargores de los llaos d'un triángulu rectángulu, la terna (o, v, w) dizse que ye una terna pitagórica. Por casu (3,4,5), (7,24,25) y (9, 40, 41) son ternes pitagóriques.^[3]

Ecuación diofántica cúbica

La ecuación

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=1729}$

foi resuelta automáticamente por Ramanujan, quien dio como soluciones- contemplando les cifres qu'apaecíen na placa d'un automóvil- los pares ordenaos (1,12), (12,1) (10,9) (9,10).^[4]

El décimu problema de Hilbert

En 1900, David Hilbert propunxo una famosa llista de problemes que la so solución considerar concedería grandes aportaciones a les matemátiques. Unu d'ellos, el décimu problema concretamente, referir a la solubilidá xeneral de les ecuaciones diofánticas, qu'a principios de sieglu yera un problema abiertu. El problema foi resueltu finalmente en 1970, cuando un resultáu novedosa en lóxica matemática conocíu como teorema de Matiyasevich contestaba negativamente al problema de Hilbert: nun esiste un procedimientu xeneral que dexe establecer cuantes soluciones tien una ecuación diofántica.

Ver tamién

• Teoría de númberos
• Décimu problema de Hilbert

Notes y referencies

1. La solución yá apaecía n'obrar cume d'Euclides, según HOfmann autor de Historia de la matemática ISBN 988-18-6286-4
2. Hofmann. Op. cit.
3. "L'inxeniu nes matemátiques" de Ross Honsberger (1994) ISBN 85731-14-X páx.120
4. Anéudota comentada pol matemáticu británicu Hardy

Bibliografía

• Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations 30. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8.
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine approximations and Diophantine equations 1467. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X.
• Shorey, T. N.; Tijdeman, R. (1986) Exponential Diophantine equations 87. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26826-5.
• Smart, Nigel P. (1998). The algorithmic resolution of Diophantine equations 41. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X.
• Stillwell, John (2004). Mathematics and its History, Second Edition, Springer Science + Business Media Inc.. ISBN 0-387-95336-1.

Enllaces esternos

• Weisstein, Eric W. «Diophantine Equation» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Plantía:PlanetMath

• Datos: Q905896
• Multimedia: Diophantine equation