গাণিতিক প্ৰমাণ

গাণিতিক প্ৰমাণ, যুক্তি-তৰ্কৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰি গাণিতিক উক্তি এটিৰ সত্যতা সাব্যস্ত কৰা পদ্ধতিক গাণিতিক প্ৰমাণ বুলি কোৱা হয়। এই যুক্তিয়ে ইতিমধ্যে প্ৰমাণিত যিকোনো উক্তি বা তত্বক সমল হিচাপে ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰে। অৱশ্যে সকলো ধৰণৰ গাণিতিক প্ৰমাণ নীতিগত হ'ব লাগিব আৰু ইয়াক কিছুমান সাধাৰণ তথা প্ৰকৃত অনুমান অৰ্থাৎ স্বতঃৰ দ্বাৰা গঠন কৰিব পাৰিব লাগিব। ^[2][3][4] গাণিতিক সত্যাপন আৰু প্ৰমাণ দুয়োটা ভিন্ন। সত্যাপনে সঁচা বুলি বিশ্বাস হোৱা কোনো এটা উক্তিক সকলো ক্ষেত্ৰতে সঁচা হ'ব বুলি নিশ্চয়তা দিব নোৱাৰে। অপ্ৰমাণিত প্ৰস্তাৱ এটাক অনুমান বুলি কোৱা হয় আৰু ইয়াক সত্য বুলি ধৰা হয় যদিহে এনে একোটা প্ৰস্তাৱ অনুৰূপ ভাৱে গণিতৰ ক্ষেত্ৰ খনত প্ৰায়ে ব্যৱহাৰ কৰা হৈ থাকে।^[5]

P. Oxy. 29, one of the oldest surviving fragments of Euclid's Elements, a textbook used for millennia to teach proof-writing techniques. The diagram accompanies Book II, Proposition 5.^[1]

প্ৰমাণৰ প্ৰকাৰ

গাণিতিক প্ৰমাণ বহু প্ৰকাৰৰ-

1. প্ৰত্যক্ষ প্ৰমাণ (Direct proof)
2. পৰীক্ষামূলক প্ৰমাণ (experimental proof)
3. যুক্তিযুক্ত বা যুক্তিগত প্ৰমাণ (logical proof)
4. স্বতঃস্ফূৰ্ত অনুভৱমূলক প্ৰমাণ (Intuitive proof)
5. পৰোক্ষ প্ৰমাণ (In-direct proof)
6. হ্ৰাসকৰণ আৰু উদ্ভটমূলক প্ৰমাণ (Reduction and Absurdum method)
7. নিঃশেষকৰণ প্ৰমাণ (Proof of exhaustion)

প্ৰত্যক্ষ প্ৰমাণ

ইয়াত প্ৰমাণ কৰিবলগীয়া সিদ্ধান্ত সমূহ প্ৰতিষ্ঠিত বাস্তৱ ঘটনা, সাধাৰণতে স্বতঃসিদ্ধ বা উপপাদ্যৰ সহায়ত প্ৰত্যক্ষ ভাৱে সত্য বা অসত্য বুলি দেখুৱা হয়।^[6] এই প্ৰমাণ জ্যামিতিৰ জগত খনত বহুল ভাৱে ব্যৱহৃত। এই প্ৰমাণে নিগমনাত্মক বা অৱৰোহী বিচাৰ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰে। সাধাৰণতে "যদি p তেন্তে q বা pয়ে q ক সূচায়, যিটোক p=>q হিচাপে লিখিব পাৰি ধৰণৰ উক্তিবোৰ প্ৰমাণ কৰিবলৈ প্ৰত্যক্ষ প্ৰমাণ ব্যৱহাৰ কৰা হয়। এই প্ৰমাণে দুটা পৰ্যায় মানি চলে-

1. প্ৰথম পৰ্যায়ত p উক্তিটো সত্য বুলি ধৰি লোৱা হয় আৰু
2. দ্বিতীয় পৰ্যায়ত p=>q ক সত্য বুলি দেখুৱাবলৈ p ৰ বিষয়ে যি জনা যায় তাক ব্যৱহাৰ কৰা হয় যাতে q উক্তিটো সত্য প্ৰমাণিত হয়।

উদাহৰণ স্বৰূপে দুটা যুগ্ম সংখ্যাৰ যোগ ফল সদায় এটা যুগ্ম সংখ্যা। ধৰা হ'ল দুটা যুগ্ম সংখ্যা ক্ৰমে 6 আৰু 2, (যিহেতু উভয়ে 2ৰে বিভাজ্য)। এতিয়া, 6+2=8 য'ত 8 এটা যুগ্ম সংখ্যা। কাৰণ 8 ক 2ৰে কোনো ভাগশেষ নথকাকৈ ভাগ কৰিব পাৰি।

পৰীক্ষামূলক প্ৰমাণ

প্ৰকৃতিগতভাৱে পৰীক্ষামূলক প্ৰমাণ অতি বিশ্বাস জন্মাব পৰা আৰু সন্তোষজনক প্ৰমাণ। ইয়াত ব্যৱহাৰিক প্ৰক্ৰিয়াৰে কোনো এটা গাণিতিক ধাৰণাক সত্যবুলি প্ৰমাণ কৰি দেখুৱাব পাৰি। উদাহৰণ স্বৰূপে কোনো বৃত্তৰ চাপে বৃত্তৰ কেন্দ্ৰত উৎপন্ন কৰা কোণৰ মান এই চাপে বৃত্তৰ পৰিধিত উৎপন্ন কৰা কোণৰ দুগুণ। এই উক্তিটো চিত্ৰৰ সহায়ত বুজাই দিব পাৰি যিহেতু কোণ সমূহ জুখিব পাৰি।

যুক্তিগত প্ৰমাণ

যুক্তিগত প্ৰমাণ হৈছে প্ৰায়বোৰ ক্ষেত্ৰতে ব্যৱহাৰ হোৱা বিশুদ্ধ আৰু বিমূৰ্ত যুক্তি। এই প্ৰমাণে অজ্ঞাতৰ পৰা জ্ঞাতৰ দিশে অগ্ৰসৰ হয়। এই প্ৰমাণৰ চাৰিটা স্তৰ আছে-

1. তথ্য
2. প্ৰমাণ কৰিব লগা উক্তি
3. অংকন
4. প্ৰমাণ

অৰ্থাৎ তথ্যসমূহ পোৱাৰ পিছত কি প্ৰমাণ কৰিব লাগে সেইটো জানি লৈ উপযুক্ত গঠন কাৰ্য সম্পাদন কৰি প্ৰমাণ কৰিব লাগে। এই প্ৰমাণ সহজে বোধগম্য হ'বলৈ জ্যামিতিক ধাৰণা, স্বত্বঃসিদ্ধ, স্বীকাৰ্য আৰু প্ৰতিজ্ঞাৰ ধাৰণা সমূহ মনত ৰখা দৰকাৰ।

তথ্যসূত্ৰ

1. Bill Casselman. "One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid". University of British Columbia. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/papyrus.html। আহৰণ কৰা হৈছে: September 26, 2008.
2. Clapham, C. & Nicholson, JN.. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. "A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained."
3. Cupillari, Antonella (2005). The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs (Third সম্পাদনা). Academic Press. পৃষ্ঠা. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.
4. Gossett, Eric (July 2009). Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons. পৃষ্ঠা. 86. ISBN 978-0470457931. "Definition 3.1. Proof: An Informal Definition"
5. "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon" (en-US ভাষাত). Math Vault. 2019-08-01. https://mathvault.ca/math-glossary। আহৰণ কৰা হৈছে: 2019-10-20.
6. Cupillari, p. 20.