عدد مرسين الأولي

في الرياضيات، عدد مِرْسين^[1] (بالإنجليزية: Mersenne number)‏ هو عدد صحيح موجب أصغر من قوة العدد اثنين بواحد:

${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1.\,}$

عدد مرسين الأولي

معلومات عامة

صنف فرعي من	عدد أولي Mersenne number with prime index (en) repunit prime (en)
سُمِّي باسم	مارين مرسين
تعريف الصيغة	${\displaystyle M_{i}=2^{n}-1:\phi (M_{i})=M_{i}-1}$

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات

سميت هذه الأعداد هكذا نسبة لمارين ميرسين وهو راهب فرنسي بدأ دراستها في بداية القرن السابع عشر. بعض التعريفات لأعداد ميرسين تشترط في الأس p أن يكون أوليا، بما أنه إذا كان p عددا مؤلفا فإن العدد ${\displaystyle 2^{p}-1}$ يكون مؤلفا أيضا. يُتطرق إلى أعداد ميرسن الأولية نظرا لارتباطها بالأعداد المثالية.

من المعلوم أنه إذا كان ${\displaystyle 2^{p}-1}$ عددا أوليا فإن p هو عدد أولي أيضا. أصغر عدد لميرسن مؤلفٍ رغم كون الأس أوليا هو 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89

بحلول أبريل 2020، اكتشف واحد وخمسون عددا أوليا لميرسين. أكبر عدد أولي معروف (ويساوي ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$) هو عدد أولي لميرسين. كل أعداد ميرسين الأولية المكتشفة بعد 1997، اكتشفت بفضل مشروع البحث الكبير عن أعداد مرسين الأولية في الإنترنت.

حول أعداد ميرسين الأولية

يبقى عدد من المسائل المتعلقة بأعداد ميرسن الأولية غير محلحلا بعد. لا يُعلم هل عدد أعداد ميرسن الأولية منته أم غير منته. حدسية لينسترا-بوميرانس-فاغشتاف تنص على أن هناك عددا غير منته من أعداد ميرسن الأولية كما تتنبأ بوتيرة نُموهن. أيضا، لا يُعلم عدد الحالات حيث يكون الأس أوليا وعدد ميرسن ذاته غير أولي.انظر إلى عدد صوفي جيرمين الأولي.

ليس هناك اختبار بسيط يمكن من الجزم أن عددا ما لميرسين أولي أو غير أولي. هذا يجعل من البحث عن أعداد ميرسن الأولية أمرا صعبا وخصوصا أن أعداد ميرسن تنمو بشكل سريع جدا. اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما هو طريقة فعالة تساعد على اختبار أولية أعداد ميرسن.

عندما يُراد القيام بحسابياتٍ بتردد عدد أولي، تصير أعداد ميرسن الأولية اختيارا رائعا وفعالا خصوصا عند استعمال الحاسوب وتمثيله الثنائي للأعداد. انظر على سبيل المثال إلى مولد ليهمر للأعداد العشوائية.

التاريخ

اعتقد عدد من الرياضيين السابقين أن العدد من الصورة ${\displaystyle 2^{n}-1}$ يكون أوليا كلما كان n عددا أوليا، و لكن في 1536 أثبت ريجيوس ( Regius ) أن العدد : 2047 = 23.89 = ${\displaystyle 2^{11}-1}$ ليس أوليا حيث أنه حاصل ضرب 23 و89، و في عام 1603 تحقق كاتالدي أن العددين ${\displaystyle 2^{17}-1}$ و ${\displaystyle 2^{19}-1}$ أوليان ، و استنتج كاتالدي و بشكل خاطئ أن العدد ${\displaystyle 2^{n}-1}$ يكون أوليا لكل : n = 23,29,31,37 ، حيث أثبت فيرما في 1645 أن كاتالدي كان خاطئا بالنسبة للعددين n = 23,37 ، و أثبت أويلر في 1738 أن كاتالدي كان أيضا خاطئا بالنسبة للعدد n = 29 ، و في وقت لاحق أثبت أويلر أن كاتالدي كان مصيبا بالنسبة للعدد n = 31.

بمجيء الفرنسي مارين ميرسين (1588-1648)، حيث وضع في مقدمة أحد كتبه أن العدد ${\displaystyle 2^{n}-1}$ يكون أوليا عندما : n = 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257 ، و أنه مركب لكل الأعداد n <257 الصحيحة، و رغم أن هذا التخمين من ميرسين كان خاطئا إلا أن اسمه ظل ملتصقا بهذه الأعداد حيث سميت باسمه.

كان واضحا أنه ليس بإمكان ميرسين التحقق من كل هذه الأعداد (n <257) لصعوبة ذلك في عصر ميرسين. كذلك لم يكن بمقدور معاصريه التحقق من موضوعته، فبقيت كذلك إلى مائة سنة و ذلك عندما تحقق أويلر في 1750 من أن العدد التالي في قائمة ميرسين هو ${\displaystyle 2^{31}-1}$ ، و بعد قرن آخر و في 1876 بين إدوارد لوكاس أن العدد ${\displaystyle 2^{127}-1}$ أولي، و بعد سبع سنوات أثبت عالم الرياضيات الروسي بيرفوشين أن العدد ${\displaystyle 2^{61}-1}$ أولي و هذا لم يذكره ميرسين ، كذلك أثبت باورس في بداية القرن العشرين أن ميرسين أغفل أيضا العددين الأوليين ${\displaystyle 2^{89}-1}$ و ${\displaystyle 2^{107}-1}$ و بنهاية عام 1947 كانت سلسلة ميرسين للأعداد (n<258 ) قد اكتملت بشكلها الصحيح و هي :

(n = 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127 ) ، أما بالنسبة لبقية أعداد ميرسين فقد تم اكتشافها مع ظهور الحاسب الحالي.

لائحة أعداد ميرسين الأولية المعروفة

اللائحة أسفله تحتوي على أعداد ميرسن الأولية المعروفة وعددهن واحد وخمسون :

#	p	Mp	عدد أرقام Mp	تاريخ الاكتشاف	المكتشِف	الطريقة المستعملة
1	2	3	1	حوالي 430 قبل الميلاد	علماء الرياضيات اليونان[2]
2	3	7	1	حوالي 430 قبل الميلاد	علماء الرياضيات اليونان
3	5	31	2	حوالي 300 قبل الميلاد	علماء الرياضيات اليونان[3]
4	7	127	3	حوالي 300 قبل الميلاد	علماء الرياضيات اليونان[3]
5	13	8191	4	1456	غير معروف[4][5]	القسمة المتكررة
6	17	131071	6	1588[6]	بييترو كاتالدي	القسمة المتكررة[7]
7	19	524287	6	1588	بييترو كاتالدي	القسمة المتكررة[8]
8	31	2147483647	10	1772	ليونهارت أويلر[9][10]	القسمة المتكررة with modular restrictions[11]
9	61	2305843009213693951	19	1883 نوفمبر[12]	ايفان ميخيفيتش بيرفوشين	متتاليات لوكاس
10	89	618970019642...137449562111	27	1911 يونيو[13]	رالف ارنشت باورز	متتاليات لوكاس
11	107	162259276829...578010288127	33	1914 يونيو 1[14][15][16]	رالف ارنشت باورز[17]	متتاليات لوكاس
12	127	170141183460...715884105727	39	1876 يناير 10[18]	إدوارد لوكاس	متتاليات لوكاس
13	521	686479766013...291115057151	157	1952 يناير 30[19]	رافائيل إم. روبنسون	LLT / SWAC
14	607	531137992816...219031728127	183	1952 يناير 30	رافائيل إم. روبنسون	LLT / SWAC
15	1,279	104079321946...703168729087	386	1952 يونيو 25[20]	رافائيل إم. روبنسون	LLT / SWAC
16	2,203	147597991521...686697771007	664	1952 أكتوبر 7[21]	رافائيل إم. روبنسون	LLT / SWAC
17	2,281	446087557183...418132836351	687	1952 أكتوبر 9	رافائيل إم. روبنسون	LLT / SWAC
18	3,217	259117086013...362909315071	969	1957 September 8[22]	Hans Riesel	LLT / BESK
19	4,253	190797007524...815350484991	1,281	1961 نوفمبر 3[23][24]	Alexander Hurwitz	LLT / IBM 7090
20	4,423	285542542228...902608580607	1,332	1961 نوفمبر 3[23]	Alexander Hurwitz	LLT / IBM 7090
21	9,689	478220278805...826225754111	2,917	1963 ماي 11[25]	دونالد بي. غيليز	LLT / ILLIAC II
22	9,941	346088282490...883789463551	2,993	1963 ماي 16	Donald B. Gillies	LLT / ILLIAC II
23	11,213	281411201369...087696392191	3,376	1963 يونيو 2	Donald B. Gillies	LLT / ILLIAC II
24	19,937	431542479738...030968041471	6,002	1971 March 4[26]	Bryant Tuckerman	LLT / IBM 360/91
25	21,701	448679166119...353511882751	6,533	1978 أكتوبر 30[27]	Landon Curt Noll & Laura Nickel	LLT / CDC Cyber 174
26	23,209	402874115778...523779264511	6,987	1979 فبراير 9[28]	Landon Curt Noll	LLT / CDC Cyber 174
27	44,497	854509824303...961011228671	13,395	1979 April 8[29][30]	Harry L. Nelson & David Slowinski	LLT / كراي-1
28	86,243	536927995502...709433438207	25,962	1982 September 25	David Slowinski	LLT / Cray 1
29	110,503	521928313341...083465515007	33,265	1988 يناير 29[31][32]	Walter Colquitt & Luke Welsh	LLT / NEC SX-2  [لغات أخرى]‏[33]
30	132,049	512740276269...455730061311	39,751	1983 September 19[34]	David Slowinski	LLT / Cray X-MP
31	216,091	746093103064...103815528447	65,050	1985 September 1[35][36]	David Slowinski	LLT / Cray X-MP/24
32	756,839	174135906820...328544677887	227,832	1992 February 17	David Slowinski & عدد ميرسين الأولي	LLT / Harwell Lab's Cray-2[37]
33	859,433	129498125604...243500142591	258,716	1994 يناير 4[38][39][40]	David Slowinski & Paul Gage	LLT / Cray C90
34	1,257,787	412245773621...976089366527	378,632	1996 September 3[41]	David Slowinski & Paul Gage[42]	LLT / Cray T94  [لغات أخرى]‏
35	1,398,269	814717564412...868451315711	420,921	1996 نوفمبر 13	GIMPS / Joel Armengaud[43]	LLT / Prime95 on 90 MHz بنتيوم
36	2,976,221	623340076248...743729201151	895,932	1997 August 24	GIMPS / Gordon Spence[44]	LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium
37	3,021,377	127411683030...973024694271	909,526	1998 يناير 27	GIMPS / Roland Clarkson[45]	LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium
38	6,972,593	437075744127...142924193791	2,098,960	1999 يونيو 1	GIMPS / Nayan Hajratwala[46]	LLT / Prime95 on 350 MHz بنتيوم II آي بي إم أبتيفيا
39	13,466,917	924947738006...470256259071	4,053,946	2001 نوفمبر 14	GIMPS / Michael Cameron[47]	LLT / Prime95 on 800 MHz Athlon T-Bird  [لغات أخرى]‏
40	20,996,011	125976895450...762855682047	6,320,430	2003 نوفمبر 17	GIMPS / Michael Shafer[48]	LLT / Prime95 on 2 GHz Dell Dimension
41	24,036,583	299410429404...882733969407	7,235,733	2004 ماي 15	GIMPS / Josh Findley[49]	LLT / Prime95 on 2.4 GHz بنتيوم 4
42	25,964,951	122164630061...280577077247	7,816,230	2005 February 18	GIMPS / Martin Nowak[50]	LLT / Prime95 on 2.4 GHz Pentium 4
43	30,402,457	315416475618...411652943871	9,152,052	2005 دسمبر 15	GIMPS / Curtis Cooper  [لغات أخرى]‏ & Steven Boone[51]	LLT / Prime95 on 2 GHz Pentium 4
44	32,582,657	124575026015...154053967871	9,808,358	2006 September 4	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone[52]	LLT / Prime95 on 3 GHz Pentium 4
45	37,156,667	202254406890...022308220927	11,185,272	2008 September 6	GIMPS / Hans-Michael Elvenich[53]	LLT / Prime95 on 2.83 GHz نواة إنتل
46	42,643,801	169873516452...765562314751	12,837,064	2009 يونيو 4[n 1]	GIMPS / Odd M. Strindmo[54][n 2]	LLT / Prime95 on 3 GHz Core 2
47	43,112,609	316470269330...166697152511	12,978,189	2008 August 23	GIMPS / Edson Smith[53]	LLT / Prime95 on Dell Optiplex 745
48[n 3]	57,885,161	581887266232...071724285951	17,425,170	2013 يناير 25	GIMPS / Curtis Cooper[55]	LLT / Prime95 on 3 GHz Intel Core2 Duo E8400[56]
49[n 3]	74,207,281	300376418084...391086436351	22,338,618	2016 يناير 7[n 4]	GIMPS / Curtis Cooper	LLT / Prime95 on Intel Core i7-4790
50[n 3]	77,232,917	467333183359...069762179071	23,249,425	2017 دسمبر 26	GIMPS / Jon Pace[57]	LLT / Prime95 on 3.3 GHz Intel Core i5-6600[58]
51[n 3]	82,589,933	148894445742...325217902591	24,862,048	2018 ديسمبر 7	GIMPS / Patrick Laroche	LLT / Prime95 on Intel Core i5-4590T

1. Although M_42,643,801 was first reported by a machine on April 12, 2009, no human took notice of this fact until يونيو 4, 2009.
2. Strindmo also uses the alias Stig M. Valstad.
3. It is not verified whether any undiscovered Mersenne primes exist between the 47th (M_43,112,609) and the 51st (M_82,589,933) on this chart; the ranking is therefore provisional.
4. Although M_74,207,281 was first reported by a machine on September 17, 2015, no human took notice of this fact until يناير 7, 2016.

All Mersenne numbers below the 51st Mersenne prime (M_82,589,933) have been tested at least once but some have not been double-checked. Primes are not always discovered in increasing order. For example, the 29th Mersenne prime was discovered after the 30th and the 31st. Similarly, M_43,112,609 was followed by two smaller Mersenne primes, first 2 weeks later and then 9 months later.^[59] M_43,112,609 was the first discovered prime number with more than 10 million decimal digits.

أكبر عدد أولي لميرسن معروفٍ (2^82,589,933 − 1) هو أيضا أكبر عدد أولي معروف.

منذ 1952، كانت أعداد ميرسن الأولية هن أكبر عدد أولي معروف، باستثناء بين عام 1989 و 1992.^[60]

الأعداد المثالية

تكمن أهمية أعداد ميرسين الأولية في ارتباطها بالأعداد المثالية. في القرن الرابع قبل الميلاد، برهن اقليدس على أنه إذا كان M_p عددا أوليا لميرسن، فإن

${\displaystyle 2^{p-1}\cdot (2^{p}-1)=M_{p}(M_{p}+1)/2\ }$

هو عدد مثالي زوجي. في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل (${\displaystyle 2^{k-1}(2^{k}-1}$ حيث ${\displaystyle (2^{k}-1)}$ هو عدد أولي. في القرن الثامن عشر، برهن ليونهارد أويلر على عكس هذه المبرهنة والذي ينص على أن كل عدد مثالي زوجي له هذا الشكل.

أعداد ميرسين في الطبيعة وغيرها

في معضلة برج هانوي الرياضية: حلحلة المعضلة حيث عدد الأقراص هو p تتطلب على الأقل M_p خطوة.

انظر أيضًا

• قائمة أعداد مرسين
• عدد فيرما
• أكبر عدد أولي معروف
• حدسيات مرسين
• عدد مرسين المزدوج

مراجع

1. موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 442، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
2. There is no mentioning among the ians of prime numbers, and they did not have any concept for prime numbers known today. In the بردية ريند الرياضية (1650 BC) the Egyptian fraction expansions have fairly different forms for primes and composites, so it may be argued that they knew about prime numbers. "The Egyptians used ($) in the table above for the first primes r = 3, 5, 7, or 11 (also for r = 23). Here is another intriguing observation: That the Egyptians stopped the use of ($) at 11 suggests they understood (at least some parts of) Eratosthenes's Sieve 2000 years before Eratosthenes 'discovered' it." The Rhind 2/n Table [Retrieved 2012-11-11]. In the school of [[فيثاغورس|]] (b. about 570 – d. about 495 BC) and the فيثاغورية, we find the first sure observations of prime numbers. Hence the first two Mersenne primes, 3 and 7, were known to and may even be said to have been discovered by them. There is no reference, though, to their special form 2² − 1 and 2³ − 1 as such. The sources to the knowledge of prime numbers among the Pythagoreans are late. The Neoplatonic philosopher [[يامبليخوس|]], AD c. 245–c. 325, states that the Greek Platonic philosopher [[إسبوزيبوس|]], c. 408 – 339/8 BC, wrote a book named On Pythagorean Numbers. According to Iamblichus this book was based on the works of the Pythagorean [[فيلولاوس|]], c. 470–c. 385 BC, who lived a century after [[فيثاغورس|]], 570 – c. 495 BC. In his Theology of Arithmetic in the chapter On the Decad, Iamblichus writes: "Speusippus, the son of Plato's sister Potone, and head of the Academy before Xenocrates, compiled a polished little book from the Pythagorean writings which were particularly valued at any time, and especially from the writings of Philolaus; he entitled the book On Pythagorean Numbers. In the first half of the book, he elegantly expounds linear numbers [that is, prime numbers], polygonal numbers and all sorts of plane numbers, solid numbers and the five figures which are assigned to the elements of the universe, discussing both their individual attributes and their shared features, and their proportionality and reciprocity." Iamblichus The Theology of Arithmetic translated by Robin Waterfiled, 1988, p. 112f. [Retrieved 2012-11-11]. [[يامبليخوس|]] also gives us a direct quote from [[إسبوزيبوس|]]' book where [[إسبوزيبوس|]] among other things writes: "Secondly, it is necessary for a perfect number [the concept "perfect number" is not used here in a modern sense] to contain an equal amount of prime and incomposite numbers, and secondary and composite numbers." Iamblichus The Theology of Arithmetic translated by Robin Waterfiled, 1988, p. 113. [Retrieved 2012-11-11]. For the Greek original text, see Speusippus of Athens: A Critical Study with a Collection of the Related Texts and Commentary by Leonardo Tarán, 1981, p. 140 line 21–22 [Retrieved 2012-11-11] In his comments to نيقوماخس الجرشي [[مقدمة في الحساب|]]، [[يامبليخوس|]] also mentions that Thymaridas, ca. 400 BC – ca. 350 BC, uses the term rectilinear for prime numbers, and that [[ثاون الأزميري|]], fl. AD 100, uses euthymetric and linear as alternative terms. Nicomachus of Gerasa, Introduction to Arithmetic, 1926, p. 127 [Retrieved 2012-11-11] It is unclear though when this said Thymaridas lived. "In a highly suspect passage in Iamblichus, Thymaridas is listed as a pupil of Pythagoras himself." Pythagoreanism [Retrieved 2012-11-11] Before [[فيلولاوس|]], c. 470–c. 385 BC, we have no proof of any knowledge of prime numbers. "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2019-12-01. اطلع عليه بتاريخ 2020-06-07.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link)
3. "Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36". مؤرشف من الأصل في 2017-06-06.
4. The Prime Pages, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists. نسخة محفوظة 2020-05-31 على موقع واي باك مشين.
5. We find the oldest (undisputed) note of the result in Codex nr. 14908, which origins from Bibliotheca monasterii ord. S. Benedicti ad S. Emmeramum Ratisbonensis now in the archive of the Bayerische Staatsbibliothek, see "Halm, Karl / Laubmann, Georg von / Meyer, Wilhelm: Catalogus codicum latinorum Bibliothecae Regiae Monacensis, Bd.: 2,2, Monachii, 1876, p. 250". [retrieved on 2012-09-17] The Codex nr. 14908 consists of 10 different medieval works on mathematics and related subjects. The authors of most of these writings are known. Some authors consider the monk Fridericus Gerhart (Amman), 1400–1465 (Frater Fridericus Gerhart monachus ordinis sancti Benedicti astrologus professus in monasterio sancti Emmerani diocesis Ratisponensis et in ciuitate eiusdem) to be the author of the part where the prime number 8191 is mentioned. Geschichte Der Mathematik [retrieved on 2012-09-17] The second manuscript of Codex nr. 14908 has the name "Regulae et exempla arithmetica, algebraica, geometrica" and the 5th perfect number and all is factors, including 8191, are mentioned on folio no. 34 a tergo (backside of p. 34). Parts of the manuscript have been published in Archiv der Mathematik und Physik, 13 (1895), pp. 388–406 [retrieved on 2012-09-23] "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2019-01-02. اطلع عليه بتاريخ 2020-06-07.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link)
6. "A i lettori. Nel trattato de' numeri perfetti, che giàfino dell anno 1588 composi, oltrache se era passato auáti à trouarne molti auertite molte cose, se era anco amplamente dilatatala Tauola de' numeri composti , di ciascuno de' quali si vedeano per ordine li componenti, onde preposto unnum." p. 1 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775#%5Bوصلة+مكسورة%5D "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2017-07-08. اطلع عليه بتاريخ 2021-01-24.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link)
7. pp. 13–18 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775#%5Bوصلة+مكسورة%5D
8. pp. 18–22 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775#%5Bوصلة+مكسورة%5D
9. https://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=03-nouv/1772&seite:int=36 نسخة محفوظة 2012-03-31 على موقع واي باك مشين. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1772, pp. 35–36 EULER, Leonhard: Extrait d'une lettre à M. Bernoulli, concernant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. p. 318 [intitulé: Recherches sur les diviseurs de quelques nombres très grands compris dans la somme de la progression géométrique 1 + 101 + 102 + 103 + ... + 10T = S]. Retrieved 2011-10-02. ^{[وصلة مكسورة]}
10. http://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 The date and year of discovery is unsure. Dates between 1752 and 1772 are possible. نسخة محفوظة 2020-06-05 على موقع واي باك مشين.
11. Chris K. Caldwell. "Modular restrictions on Mersenne divisors". Primes.utm.edu. مؤرشف من الأصل في 2020-05-31. اطلع عليه بتاريخ 2011-05-21.
12. “En نوفمبر de l’année 1883, dans la correspondance de notre Académie se trouve une communication qui contient l’assertion que le nombre 2⁶¹ − 1 = 2305843009213693951 est un nombre premier. /…/ Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l’Académie /…/ contient le compte-rendu de la séance du 20 décembre 1883, dans lequel l’objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision.” Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg, s. 3, v. 31, 1887, cols. 532–533. https://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up [retrieved 2012-09-17] See also Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l’Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), pp. 553–554. See also Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg: Sciences mathématiques, physiques et naturelles, vol. 48 نسخة محفوظة 2018-12-12 على موقع واي باك مشين.
13. Powers، R. E. (1 يناير 1911). "The Tenth Perfect Number". The American Mathematical Monthly. ج. 18 ع. 11: 195–197. DOI:10.2307/2972574. JSTOR:2972574.
14. "M. E. Fauquenbergue a trouvé ses résultats depuis Février, et j’en ai reçu communication le 7 Juin; M. Powers a envoyé le 1^er Juin un cablógramme à M. Bromwich  ^{[لغات أخرى]}‏ [secretary of London Mathematical Society] pour M₁₀₇. Sur ma demande, ces deux auteurs m’ont adressé leurs remarquables résultats, et je m’empresse de les publier dans nos colonnes, avec nos felicitations." p. 103, André Gérardin, Nombres de Mersenne pp. 85, 103–108 in Sphinx-Œdipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] v. 9, No. 1, 1914.
15. "Power's cable announcing this same result was sent to the London Math. So. on 1 يونيو 1914." Mersenne's Numbers, Scripta Mathematica, v. 3, 1935, pp. 112–119 http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm [retrieved 2012-10-13] نسخة محفوظة 2018-12-11 على موقع واي باك مشين.
16. http://plms.oxfordjournals.org/content/s2-13/1/1.1.full.pdf Proceedings / London Mathematical Society (1914) s2–13 (1): 1. Result presented at a meeting with London Mathematical Society on يونيو 11, 1914. Retrieved 2011-10-02. نسخة محفوظة 2022-04-07 على موقع واي باك مشين.
17. The Prime Pages, M₁₀₇: Fauquembergue or Powers?. نسخة محفوظة 16 يوليو 2019 على موقع واي باك مشين.
18. http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3039&I=166&M=chemindefer Presented at a meeting with Académie des sciences (France) on يناير 10, 1876. Retrieved 2011-10-02. نسخة محفوظة 2018-10-06 على موقع واي باك مشين.
19. "Using the standard Lucas test for Mersenne primes as programmed by R. M. Robinson, the SWAC has discovered the primes 2⁵²¹ − 1 and 2⁶⁰⁷ − 1 on يناير 30, 1952." D. H. Lehmer, Recent Discoveries of Large Primes, Mathematics of Computation, vol. 6, No. 37 (1952), p. 61, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-52-99404-0/S0025-5718-52-99404-0.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2018-09-30 على موقع واي باك مشين.
20. "The program described in Note 131 (c) has produced the 15th Mersenne prime 2¹²⁷⁹ − 1 on يونيو 25. The SWAC tests this number in 13 minutes and 25 seconds." D. H. Lehmer, A New Mersenne Prime, Mathematics of Computation, vol. 6, No. 39 (1952), p. 205, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-039/S0025-5718-52-99387-3/S0025-5718-52-99387-3.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2019-05-04 على موقع واي باك مشين.
21. "Two more Mersenne primes, 2²²⁰³ − 1 and 2²²⁸¹ − 1, were discovered by the SWAC on أكتوبر 7 and 9, 1952." D. H. Lehmer, Two New Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 7, No. 41 (1952), p. 72, http://www.ams.org/journals/mcom/1953-07-041/S0025-5718-53-99371-5/S0025-5718-53-99371-5.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2018-10-30 على موقع واي باك مشين.
22. "On September 8, 1957, the Swedish electronic computer BESK established that the Mersenne number M₃₂₁₇ = 2³²¹⁷ − 1 is a prime." Hans Riesel, A New Mersenne Prime, Mathematics of Computation, vol. 12 (1958), p. 60, http://www.ams.org/journals/mcom/1958-12-061/S0025-5718-1958-0099752-6/S0025-5718-1958-0099752-6.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2019-05-04 على موقع واي باك مشين.
23. A. Hurwitz and J. L. Selfridge, Fermat numbers and perfect numbers, Notices of the American Mathematical Society, v. 8, 1961, p. 601, abstract 587-104.
24. "If p is prime, M_p = 2^p − 1 is called a Mersenne number. The primes M₄₂₅₃ and M₄₄₂₃ were discovered by coding the Lucas-Lehmer test for the IBM 7090." Alexander Hurwitz, New Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 16, No. 78 (1962), pp. 249–251, http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-078/S0025-5718-1962-0146162-X/S0025-5718-1962-0146162-X.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2018-09-30 على موقع واي باك مشين.
25. "The primes M₉₆₈₉, M₉₉₄₁, and M₁₁₂₁₃ which are now the largest known primes, were discovered by Illiac II at the Digital Computer Laboratory of the University of Illinois." Donald B. Gillies, Three New Mersenne Primes and a Statistical Theory, Mathematics of Computation, vol. 18, No. 85 (1964), pp. 93–97, http://www.ams.org/journals/mcom/1964-18-085/S0025-5718-1964-0159774-6/S0025-5718-1964-0159774-6.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2019-05-01 على موقع واي باك مشين.
26. "On the evening of March 4, 1971, a zero Lucas-Lehmer residue for p = p₂₄ = 19937 was found. Hence, M₁₉₉₃₇ is the 24th Mersenne prime." Bryant Tuckerman, The 24th Mersenne Prime, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, vol. 68:10 (1971), pp. 2319–2320, http://www.pnas.org/content/68/10/2319.full.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2015-09-24 على موقع واي باك مشين.
27. "On أكتوبر 30, 1978 at 9:40 pm, we found M₂₁₇₀₁ to be prime. The CPU time required for this test was 7:40:20. Tuckerman and Lehmer later provided confirmation of this result." Curt Noll and Laura Nickel, The 25th and 26th Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980-0583517-4.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2019-05-04 على موقع واي باك مشين.
28. "Of the 125 remaining M_p only M₂₃₂₀₉ was found to be prime. The test was completed on February 9, 1979 at 4:06 after 8:39:37 of CPU time. Lehmer and McGrogan later confirmed the result." Curt Noll and Laura Nickel, The 25th and 26th Mersenne Primes, Mathematics of Computation, vol. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980-0583517-4.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2019-05-04 على موقع واي باك مشين.
29. David Slowinski, "Searching for the 27th Mersenne Prime", Journal of Recreational Mathematics, v. 11(4), 1978–79, pp. 258–261, MR 80g #10013
30. "The 27th Mersenne prime. It has 13395 digits and equals 2⁴⁴⁴⁹⁷ – 1. [...] Its primeness was determined on April 8, 1979 using the Lucas–Lehmer test. The test was programmed on a CRAY-1 computer by David Slowinski & Harry Nelson." (p. 15) "The result was that after applying the Lucas–Lehmer test to about a thousand numbers, the code determined, on Sunday, April 8th, that 2⁴⁴⁴⁹⁷ − 1 is, in fact, the 27th Mersenne prime." (p. 17), David Slowinski, "Searching for the 27th Mersenne Prime", Cray Channels, vol. 4, no. 1, (1982), pp. 15–17.
31. "An FFT containing 8192 complex elements, which was the minimum size required to test M₁₁₀₅₀₃, ran approximately 11 minutes on the SX-2. The discovery of M₁₁₀₅₀₃ (يناير 29, 1988) has been confirmed." W. N. Colquitt and L. Welsh, Jr., A New Mersenne Prime, Mathematics of Computation, vol. 56, No. 194 (April 1991), pp. 867–870, http://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1068823-9/S0025-5718-1991-1068823-9.pdf [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2018-10-01 على موقع واي باك مشين.
32. "This week, two computer experts found the 31st Mersenne prime. But to their surprise, the newly discovered prime number falls between two previously known Mersenne primes. It occurs when p = 110,503, making it the third-largest Mersenne prime known." I. Peterson, Priming for a lucky strike Science News; 2/6/88, Vol. 133 Issue 6, pp. 85–85. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=3&hid=23&sid=9a9d7493-ffed-410b-9b59-b86c63a93bc4%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8824187 [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2018-10-04 على موقع واي باك مشين.
33. "Mersenne Prime Numbers". Omes.uni-bielefeld.de. 5 يناير 2011. مؤرشف من الأصل في 2019-10-22. اطلع عليه بتاريخ 2011-05-21.
34. "Slowinski, a software engineer for Cray Research Inc. in Chippewa Falls, discovered the number at 11:36 a.m. Monday. [that is, 1983 September 19]" Jim Higgins, "Elusive numeral's number is up" and "Scientist finds big number" in The Milwaukee Sentinel – Sep 24, 1983, p. 1, p. 11 [retrieved 2012-10-23] "نسخة مؤرشفة". مؤرشف من الأصل في 2016-03-13. اطلع عليه بتاريخ 2020-06-07.{{استشهاد ويب}}: صيانة الاستشهاد: BOT: original URL status unknown (link) ^{[وصلة مكسورة]}
35. "The number is the 30th known example of a Mersenne prime, a number divisible only by 1 and itself and written in the form 2^p − 1, where the exponent p is also a prime number. For instance, 127 is a Mersenne number for which the exponent is 7. The record prime number's exponent is 216,091." I. Peterson, Prime time for supercomputers Science News; 9/28/85, Vol. 128 Issue 13, p. 199. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=4&hid=22&sid=c11090a2-4670-469f-8f75-947b593a56a0%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8840537 [Retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2018-10-04 على موقع واي باك مشين.
36. "Slowinski's program also found the 28th in 1982, the 29th in 1983, and the 30th [known at that time] this past Labor Day weekend. [that is, August 31-September 1, 1985]" Rad Sallee, "`Supercomputer'/Chevron calculating device finds a bigger prime number" Houston Chronicle, Friday 09/20/1985, Section 1, Page 26, 4 Star Edition [retrieved 2012-10-23] نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين. ^{[وصلة مكسورة]}
37. The Prime Pages, The finding of the 32nd Mersenne. نسخة محفوظة 2019-02-04 على موقع واي باك مشين.
38. Chris Caldwell, The Largest Known Primes. نسخة محفوظة 7 يونيو 2020 على موقع واي باك مشين.
39. Crays press release نسخة محفوظة 2018-09-28 على موقع واي باك مشين.
40. "Slowinskis email". مؤرشف من الأصل في 2020-06-07.
41. Silicon Graphics' press release https://web.archive.org/web/19970606011821/http://www.sgi.com/Headlines/1996/September/prime.html [Retrieved 2012-09-20] نسخة محفوظة 7 يونيو 2020 على موقع واي باك مشين.
42. The Prime Pages, A Prime of Record Size! 2^1257787 – 1. نسخة محفوظة 31 مايو 2020 على موقع واي باك مشين.
43. GIMPS Discovers 35th Mersenne Prime. نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين.
44. GIMPS Discovers 36th Known Mersenne Prime. نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين.
45. GIMPS Discovers 37th Known Mersenne Prime. نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين.
46. GIMPS Finds First Million-Digit Prime, Stakes Claim to $50,000 EFF Award. نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين.
47. GIMPS, Researchers Discover Largest Multi-Million-Digit Prime Using Entropia Distributed Computing Grid. نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين.
48. GIMPS, Mersenne Project Discovers Largest Known Prime Number on World-Wide Volunteer Computer Grid. نسخة محفوظة 2020-06-07 على موقع واي باك مشين.
49. GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^24,036,583 – 1. نسخة محفوظة 16 ديسمبر 2008 على موقع واي باك مشين.
50. GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^25,964,951 – 1. نسخة محفوظة 3 يوليو 2010 على موقع واي باك مشين.
51. GIMPS, Mersenne.org Project Discovers New Largest Known Prime Number, 2^30,402,457 – 1. نسخة محفوظة 3 يوليو 2010 على موقع واي باك مشين.
52. GIMPS, Mersenne.org Project Discovers Largest Known Prime Number, 2^32,582,657 – 1. نسخة محفوظة 3 يوليو 2010 على موقع واي باك مشين.
53. Titanic Primes Raced to Win $100,000 Research Award. Retrieved on 2008-09-16. نسخة محفوظة 2011-06-03 على موقع واي باك مشين.
54. "On April 12th [2009], the 47th known Mersenne prime, 2^42,643,801 – 1, a 12,837,064 digit number was found by Odd Magnar Strindmo from Melhus, Norway! This prime is the second largest known prime number, a "mere" 141,125 digits smaller than the Mersenne prime found last August.", The List of Largest Known Primes Home Page, http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=88847 [retrieved 2012-09-18] نسخة محفوظة 2018-12-12 على موقع واي باك مشين.
55. "GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 2^57,885,161 − 1 is now the Largest Known Prime". البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت. مؤرشف من الأصل في 2014-06-24. اطلع عليه بتاريخ 2016-01-19.
56. "List of known Mersenne prime numbers". مؤرشف من الأصل في 2020-06-07. اطلع عليه بتاريخ 2014-11-29.
57. "GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2^77,232,917-1". Mersenne Research, Inc. 3 يناير 2018. مؤرشف من الأصل في 2020-04-16. اطلع عليه بتاريخ 2018-01-03.
58. "List of known Mersenne prime numbers". مؤرشف من الأصل في 2020-06-07. اطلع عليه بتاريخ 2018-01-03.
59. GIMPS Milestones Report. Retrieved 2019-05-17 نسخة محفوظة 2020-06-05 على موقع واي باك مشين.
60. Caldwell, "The Largest Known Prime by Year: A Brief History" from the برايم بيدجز ^{[الإنجليزية]} website, جامعة تنيسي في مارتن  ^{[لغات أخرى]}‏. نسخة محفوظة 2020-06-05 على موقع واي باك مشين.

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد