كرواني

  لمعانٍ أخرى، طالع كرواني (توضيح).

كُرَوَاني^[1][2] أو مجسم كرواني^[3] أو شِبْه كُرَة^[2] (بالإنجليزية: Spheroid)‏ هو سطح دوراني, يتولد عندما راسم سطحة يكون إهليلج (بما فيه الدائرة كحالة خاصة من الإهليلج) ومحور الدوران هو واحد من محاور نفس الاهليلج .^[4][5][6]

كرواني مفلطح oblate spheroid	كرواني متطاول prolate spheroid

هناك ثلاثة أنواع من الأسطح الكروية :

• كرواني متطاول أو ممطوط (وبخاصه بإتجاه المحور القطبي، مماثل لشكل كرة الرغبي)، إذا كان راسم السطح يكون إهليج ومحور الدوران هو المحور الأكبر لنفس الإهليلج.
• كرواني مفلطح (مماثل لشكل كوكب الأرض)، إذا كان الراسم إهليلج والدوران يحدث حول المحور الأصغر.
• كرة، إذا كان الراسم دائرة .

المعادلات الرياضية

معادلة القطع الناقص ثلاثي المحاور المُتمركز في نقطة الأصل الذي يمتلك أنصاف المحاور «إيه» و«بي» و«سي» على طول محاور الإحداثيات الثلاث:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

تُعطى معادلة الكرواني باعتبار أن المحور «زي»  هو محور التماثل بمساواة a مع b:

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

نصف المحور إيه هو نصف القطر الاستوائي للكرواني، وسي هي المسافة من المركز إلى القطب على طول محور التماثل. هناك حالتان ممكنتان:

• c < a: كرواني مُفلطح.
• c > a: كرواني مُتطاول.
• a = c: كرة.

الخصائص

المساحة

يتمتع الكرواني المُفلطح مع c < a بمساحة سطح تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}{\text{artanh}}\,e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)}$ حيث ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

ينتج الكرواني المُفلطح عن تدوير قطع ناقص يمتلك نصف المحور الأكبر c ونصف المحور الأصغر a حول المحور z، وبالتالي يمكن تعريف a بأنه الاختلاف المركزي.^[7]

يتمتع الكرواني المُتطاول مع c > a بمساحة سطح تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)}$ حيث ${\displaystyle \qquad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

ينتج الكرواني المُتطاول عن تدوير قطع ناقص يمتلك نصف المحور الأكبر c ونصف المحور الأصغر a حول المحور z، لذا يمكن مرة أخرى تعريف a بأنه الاختلاف المركزي.^[8]

هذه الصيغ متطابقة بمعنى أنه يمكن استخدام صيغة مساحة الكرواني المُفلطح لحساب مساحة الكرواني المُتطاول والعكس صحيح. مع ذلك، يصبح إي بعد ذلك عددًا تخيليًا ولا يمكن اعتباره اختلافًا مركزيًا بشكل مباشر. يمكن تطبيق هذه النتائج على العديد من الأشكال الأخرى باستخدام المتطابقات الرياضية القياسية والعلاقات بين معاملات القطع الناقص.

مراجع

1. منير البعلبكي؛ رمزي البعلبكي (2008). المورد الحديث: قاموس إنكليزي عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: دار العلم للملايين. ص. 1124. ISBN:978-9953-63-541-5. OCLC:405515532. OL:50197876M. QID:Q112315598.
2. أحمد شفيق الخطيب (2001). قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 712. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
3. موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 665، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
4. John Pellerito, Joseph F Polak (2012). Introduction to Vascular Ultrasonography (ط. 6). Elsevier Health Sciences. ISBN:9781455737666.
5. "Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2018-01-24. اطلع عليه بتاريخ 2014-06-24.
6. Torge, Geodesy, p.104 نسخة محفوظة 09 مايو 2016 على موقع واي باك مشين.
7. A derivation of this result may be found at "Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-03-18. اطلع عليه بتاريخ 2014-06-24.
8. A derivation of this result may be found at "Prolate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 أكتوبر 2003. مؤرشف من الأصل في 2019-10-21. اطلع عليه بتاريخ 2014-06-24.

• بوابة الفيزياء
• بوابة رياضيات
• بوابة هندسة رياضية