مرافق عدد مركب

  ميّز عن نطاق مرافق.

في الرياضيات، مرافق عدد مركب (بالإنجليزية: Complex conjugate)‏ هو عدد مركب له نفس الجزء الحقيقي للعدد الأصلي غير أن له جزءًا تخيليًا مساويًا للجزء التخيليّ للعدد الأصليّ من حيث القيمة المطلقة ومختلفًا عنه من حيث الإشارة.^[1]

رسم بياني يبين z ومرافقه z̅ في المستوي المركب. يحدد مرافق عدد مركب ما من خلال التماثل حول محور الأعداد الحقيقية

مرافق العدد المركب z = a + ib هو العدد المركب z = a - ib حيث يتساويان في قيمة العددين الحقيقيين والعددين التخيليين إلا أن إشارة العدد التخيلي في المرافق تكون سالبة.

يُرمز لمرافق لعدد المركب عادة بأحد الرمزين *${\displaystyle Z}$ أو ${\displaystyle {\bar {Z}}}$ .

مرافق العدد المركب ${\displaystyle z=a+ib}$ وحيث a و b عددان حقيقيان هو العدد المركب ${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib.\,}$

على سبيل المثال:

• ${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$
• ${\displaystyle {\overline {7}}=7}$
• ${\displaystyle {\overline {i}}=-i.}$

تستخدم تلك الرياضيات بصفة أساسية في حسابات التيار المتردد في الهندسة الكهربائية وتستخدم أيضا في ميكانيكا الكم في الفيزياء إذ لها خواص تساعد على حل تلك المسائل.

خصائص

• ${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }$
• ${\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}\!\ }$
• ${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$
• ${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\overline {z}}/{\overline {w}}\!\ }$ على أساس أن w ليس صفرا
• ${\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ }$ إذا كان z عددا حقيقيا
• ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}}$ إذا كان n عددا صحيحا
• ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$
• ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$
• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z\!\ }$, ذاتية الانعكاس (أي مرافقُ مرافقِ عدد مركب ما هو العدد نفسه)
• ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ على أساس أن z ليس صفرا

انظر أيضا

• فاعلية