كمون متجهي

في حساب المتجهات، الكمون الإتجاهي هو حقل متجهي ودورانه عبارة عن حقل متجهي.^[1][2] وهذا مماثل للكمون القياسي (العددي)، وهو حقل قياسي وتدرجه عبارة عن حقل متجهي.

الصيغة الرياضية :

لحقل متجهي v، الكمون الإتجاهي هو حقل متجهي A بحيث أن :

${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$

النتيجة :

إذا كان الحقل المتجهي v يُعطي حقل متجهي A، وبمعرفة أن تباعد الدوران (Divergence of the curl) يساوي صفر :

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

وهذا يقتضي أن يكون v حقل متجهي لولبي(solenoidal vector field)، أي أن قيمة التباعد عند أي نقطة في المجال تساوي صفر.

النظرية:

ليكن v (متجه في فضاء ثلاثي الأبعاد) حقل متجهي لولبي قابل للإشتقاق مرتين بشكل متصل. افترض أن v(x) ينقص بسرعة كافية كلما ذهبت ||x|| للمالانهاية :

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .}$

و A عبارة عن كمون إتجاهي لـ v :

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} }$

تعميم لهذه النظرية هو تحليل هلمهولتز الذي ينص على أن أي حقل إتجاهي يمكن أن يتم تحليله كمجموع حقل متجهي لولبي وحقل متجهي لا دوراني.

عدم التفرد:

الكمون الإتجاهي لمتجه لولبي ليس وحيد. إذا كان A كمون إتجاهي لـ v ، إذن (${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f}$) هو كذلك كمون إتجاهي ، حيث f عبارة عن أي اقتران عددي متصل قابل للإشتقاق. وهذا يتبع لحقيقة أن قيمة دوران التباعد هي صفر.

مراجع

1. "معلومات عن الكمون الإتجاهي على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 2020-09-27.
2. "معلومات عن الكمون الإتجاهي على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2022-05-04.

• بوابة الفيزياء
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات