عدد لوكاس

أعداد لوكاس أو متسلسلة لوكاس، هي متتالية أعداد صحيحة سميت على اسم عالم الرياضيات إدوارد لوكاس (1842-1891)، وهو من درس المتسلسلات المرتبطة بعدد فيبوناتشي.^[1][2] تشكّل أعداد لوكاس وأعداد فيبوناتشي حالات تكميلية لمتتالية لوكاس.

دوامة لوكاس، المكون من أرباع أقواس، يعتبر تقريباً جيداً لـ الدوامة الذهبية ^{[الإنجليزية]} إذا كانت قيم معاملاتها كبيرة، ولكن بتضاؤل قيم المعاملات ينقص نصف القطر بسرعة من 3 إلى 1 ثم يزداد من 1 إلى 2.

التعريف

على غرار أعداد فيبوناتشي، يعرّف كل عدد من أعداد لوكاس على أنه مجموع الحدين السابقين، وبالتالي تتشكل أعداد تعميمات فيبوناتشي. عددا لوكاس الأولين هما L₀ = 2 وL₁ = 1. في حين أن أول عددين في سلسلة فيبوناتشي هما F₀ = 0 وF₁ = 1. الصلة بين عدد لوكاس وعدد فيبوناتشي وثيقة من حيث التعريف، إلا أن لكل منها خصائص متميزة.

وعليه يمكن تعريف أعداد لوكاس كما يلي:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

متتالية أعداد لوكاس هي:

${\displaystyle 2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\;47,\;76,\;123,\;\ldots \;}$(متسلسلة A000032 في OEIS).