في الرياضيات ، الدوال الزوجية ( بالإنجليزية : Even functions ) والدوال الفردية ( بالإنجليزية : Odd functions ) هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتماثل .[1]
دالة الجيب و جميع الدوال الحدودية المقتربة منها دوال فردية. هذه الصورة تبين
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
هذه الدوال مهمة في العديد من مجالات التحليل الرياضي ، وخصوصا في متسلسلات القوى ومتسلسلات فورييه .
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
2
x
n
−
2
+
.
.
.
+
a
2
x
2
+
a
0
{\displaystyle {\mathcal {}}p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{0}}
حيث
n
{\displaystyle n}
P
(
x
)
=
P
(
−
x
)
{\displaystyle \ P(x)=P(-x)}
مثال :
الدالة التربيعية
y
=
f
(
x
)
=
x
2
+
5
{\displaystyle \ y=f(x)=x^{2}+5}
هي دالة زوجية لأن قيمة y لا تتغير سواء كانت قيمة مدخل الدالة هو x أو هو -x. على سبيل المثال،
(
−
3
)
2
=
3
2
=
9
{\displaystyle \ (-3)^{2}=3^{2}=9}
|
x
|
=
|
−
x
|
{\displaystyle \left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert }
الدالة الصفرية هي دالة زوجية وفردية في آن معا
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)=f(-x)=-f(x)}
إذا كانت دالة ما زوجية وفردية في آن واحد، فإنها تساوي الصفر حيثما عُرّفت.
إذا كانت دالة ما فردية، فإن القيمة المطلقة لهذه الدالة تعرف دالة زوجية. جمع أو طرح دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.جمع أو طرح دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
جمع دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة لا هي فردية ولا هي زوجية، إلا إذا كانت إحدى الدالتين مساوية للصفر. جداء دالتين زوجيتين هو دالة زوجية.جداء دالتين فرديتين هو دالة زوجية.
جداء دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة فردية.
قسمة دالة زوجية على دالة زوجية أخرى هو دالة زوجية.قسمة دالة فردية على دالة فردية أخرى هو دالة زوجية.
قسمة دالة فردية على دالة زوجية أو عكس ذلك يعطي دالة فردية. تركيب دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.تركيب دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
تركيب دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة زوجية.
تركيب دالتين لا شرط على الأولى والثانية زوجية هو دالة زوجية (العكس غير صحيح).
متناظرة حول محور التراتيب، حيث يظهر ذلك في تمثيل الدوال الزوجية.
و الدالة الفردية متناظرة بالنسبة للمبدا
Berners، Dave (أكتوبر 2005). "Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics" . UA WebZine . Universal Audio. مؤرشف من الأصل في 2018-01-01. اطلع عليه بتاريخ 2016-09-22 . To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output. 
