Loading AI tools
دالة رياضية تؤدي فيها تغييرات طفيفة في متغيّر الدالّة إلى تغييرات طفيفة في قيمتها من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
الدالة المستمرة أو الدالة المتصلة أو الدالة المتصلة بانتظام[بحاجة لمصدر] (بالإنجليزية: Continuous function) هي دالة رياضية تؤدي فيها تغييرات طفيفة في متغيّر الدالّة إلى تغييرات طفيفة في قيمتها.[1][2][3] الدالة التي لا تحقّق هذه الخاصّة تدعى (دالة غير مستمرة) أو (دالة منفصلة). بشكل بديهي، فإنّ دالة ما هي مستمرّة إذا استطعنا أن نرسم رسمها البياني بدون رفع القلم عن الورقة، مع أنّ هذا التعريف ليس دقيقًا.
صنف فرعي من | |
---|---|
تعريف الصيغة | |
ممثلة بـ | |
النقيض |
يعتبر موضوع استمراريّة الدوال أحد المواضيع المبدئية والجوهريّة في الطوبولوجيا. في هذه الصفحة، سيكون الحديث عن دالة ذات مصادر وقيم حقيقيّة.
على سبيل المثال، إذا كانت الدالّة تمثّل ارتفاع زهرة ما في الزمن ، فإنّ هذه الدالة مستمرة. في الواقع، فهنالك قول مأثور في الفيزياء الكلاسيكية يقضي بأنّ كل شيء في الطبيعة استمراري (مستمر). وإذا فرضنا أنّ الدالة تمثّل ارتفاع رصيد حساب في البنك في الزمن ، فإنّ قيمة الدالة «تقفز» كلّما تم سحب بعض المال أو إدخاله إلى الحساب، لذا فإنّ هذه الدالّة غير مستمرّة.
لنفرض دالّة معيّنة بمتغيّر واحد تحوّل أعدادًا حقيقية إلى أعداد حقيقية، وأنّ نطاقها هو مجال فاصل ما (كفترة زمنيّة مثلاً)، مثل الدوال و. بالإمكان رسم دالة كهذه في نظام إحداثي ديكارتي؛ وتكون هذه الدالّة دالة مستمرة إذا ما كان رسمها البياني منحنًى واحدًا غير منقطعًا، بدون «ثغرات» أو «قفزات».
التعريف الأدق هو أنّ الدالة هي دالة مستمرة في نقطة معيّنة، ، إذا تحقّقت الشروط التالية:
وتدعى الدالّة دالة مستمرّة إذا تحقّق الشرطان أعلاه لكل نقطة في نطاق الدالّة. بشكل عام، نقول أنّ الدالة مستمرة على مجموعة جزئية من نطاق الدالّة، إذا كانت مستمرّة في كل نقطة في هذه المجموعة. تسمية الدالة بدالة مستمرة تعني بشكل عام أنّ الدالة مستمرة لكل الأعداد الحقيقيّة.
كثيرًا ما يستخدم التدوين أو للدلالة على مجموعة كل الدوال المستمرّة في النطاق . على هذا النمط، فينوّه التدوين إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة والتي مشتقّاتها هي دوال مستمرّة، والتدوين إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة مرّتين والتي مشتّقاتها الثانية هي دوال مستمرّة، وهكذا دواليك.
هنالك أكثر من تعريف رياضي واحد لاستمراريّة الدالة، وبالإمكان إثبات تكافئ هذه التعاريف، أي أنّه إذا فرضنا أنّ الدالة مستمرّة وفق أحد التعريفات فبالإمكان برهنة استمراريتها وفق التعريفات الأخرى.
بدون اللجوء إلى الحديث عن النقاط الحدوديّة، بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي:
لننظر مجددًا إلى دالّة بمتغيّر واحد حقيقي قيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العدد هو أحد عناصر نطاق الدالّة . تكون الدالّة هي دالة مستمرة في النقطة إذا تحقّق أنّ: لكل ، مهما كان صغيرًا، يوجد عدد ، بحيث أنّ لكل في نطاق الدالّة الذي يحقّق ، يتحقّق التالي بالنسبة لـ:
وبتدوين بديل: إذا كانت المجموعات ، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة، ، فإنّ استمراريّة الدالّة في النقطة تعني أنّه لكل ، هنالك يحقّق لكل :
إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضي أوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوار ، مهما كان صغيرًا، لـ، فبالإمكان إيجاد جوار لـ بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.
أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضي الألماني إدوارد هاينه.
لنفرض دالّتين مستمرّتين، و، إذًا:
خواص أخرى:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.