تحليل كسري جزئي

في الرياضيات، التفكيك الكسري الجزئي (بالإنجليزية: partial fraction decomposition) أو الكسور الجزئية هي طريقة تسمح بإعادة كتابة دالة كسرية^[1] على الشكل:

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}}$

إلى شكل

${\displaystyle \sum {\frac {a_{n}}{h_{n}(x)}}}$

حيث ${\displaystyle f(x)}$ و ${\displaystyle g(x)}$ متعددتا حدود و${\displaystyle a_{n}}$ معاملات يتم تحديدها. وتختلف طريقة الحل بناء على درجة دالتي البسط والمقام.

درجة البسط أقل من درجة المقام

مثال لهذه الحالة:
${\displaystyle {\frac {2}{(3x+1)(x^{2}+2)}}}$

نقوم بتحليل المقام إلى دوال بسيطة، ونفرض دوال للبسط بحيث يكون درجة دالة البسط أقل من درجة المقام ويكون الحل هكذا:

${\displaystyle {\frac {2}{(3x+1)(x^{2}+2)}}={\frac {A}{(3x+1)}}+{\frac {Bx+C}{(x^{2}+2)}}}$

ثم نقوم بتوحيد المقام، وبما أن المقامين متساويان فإن البسطين يكونان متساويان:

${\displaystyle 2=A(x^{2}+2)+(Bx+C)(3x+1)}$

ونضع قيم مختلفة للمتغير x ونحل المعادلة ونستخرج قيم A,B,C.

درجة البسط أكبر من درجة المقام أو تساويها

ومثال لهذه الحالة:

${\displaystyle {\frac {2x^{2}-9x-44}{2x^{2}-7x-15}}}$

نقوم باستخدام القسمة المطولة

${\displaystyle I=1+{\frac {-2x-29}{2x^{2}-7x-15}}}$

وهكذا تكون في النهاية

${\displaystyle I=1+{\frac {-2x-29}{2x^{2}-7x-15}}=1+{\frac {Ax+C}{2x^{2}-7x-15}}}$

ثم نساوي ${\displaystyle -2x-29=Ax+C}$

ونضع قيما مختلفة للمتغير x و نحسب قيم A,C .

تطبيق الكسور الجزئية في التكامل

لتطبيق الكسور الجزئية في حساب التكامل الرمزي، من خلال:

${\displaystyle Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})}$ ,${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}}$

مثال على ذلك:

${\displaystyle \int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx}$

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx}$

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\,dx=\int x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\,dx}$

${\displaystyle A(x-1)+B(x+2)=-3x+7}$.

${\displaystyle A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}}$

${\displaystyle \int x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C}$