دالة مميزة (نظرية احتمالات)

في نظرية الاحتمال والإحصاء، الدالة المميزة لمتغير عشوائي X حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} \ }$ حيث:

The characteristic function of a uniform U(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however in general case characteristic functions may be complex-valued.

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{X}(t)&=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]\\&=\mathbb {E} \left[\cos(tX)\right]+i\ \mathbb {E} \left[\sin(tX)\right].\end{aligned}}}$

في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي X ، فإن الدالة المميزة في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي ${\displaystyle \scriptstyle \ 2\pi \,}$ ) لدالة الكثافة.^[1] (في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة ${\displaystyle \scriptstyle \ \phi _{X}(t)=E[e^{2i\pi tX}].}$)

بشكل أعم، الدالة المميزة لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\ }$، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\ }$ بـ :

${\displaystyle \phi _{X}(u)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle u,X\rangle }\right]\,}$ أين ${\displaystyle \scriptstyle \ \langle u,X\rangle \,}$ هو الجداء القياسي لـ u مع X.

في حالة المتغير العشوائيX المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :

${\displaystyle G(z)=\mathbb {E} \left[z^{X}\right]}$ باعتبار z عدد مركب، و نستخلص إذا :

${\displaystyle \phi _{X}(t)=G\left(e^{it}\right);}$ حيث أن الدالة G هي امتداد لـ ${\displaystyle \scriptstyle \ \phi _{X}}$

خصائص الدالة المميزة

• تحدد الدالة المميزة طبيعة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في حالة تساوي دالتين، يعني في حالة تساوي دالتين مميزتين ${\displaystyle \phi _{X}=\phi _{Y}\,}$ نستنتج أن للمتغيران ${\displaystyle X\,}$ et ${\displaystyle Y\,}$ نفس دالة التوزيع الاحتمالي.
• إذا كان X و Y متغيران عشوائيان مستقلان، إذا ${\displaystyle \phi _{X+Y}=\phi _{X}\,\phi _{Y}}$.

بشكل أعم، إذا كان ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن

${\displaystyle \phi _{X_{1}+\cdots +X_{n}}=\phi _{X_{1}}\cdots \phi _{X_{n}}}$

وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ ${\displaystyle \phi _{X+Y}}$ نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة X+Y

• توجد أيضا علاقة بين الدالة المميزة و دالة العزوم لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود دالة العزوم بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:

${\displaystyle \phi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\mu _{k}}{k!}}t^{k}}$ أين ${\displaystyle \mu _{k}}$ هو عزم ذو درجة k .

تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) والتباين (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

${\displaystyle 1=\phi _{X}(0),\qquad \mathbb {E} [X]=-i\,\phi _{X}^{\prime }(0),\qquad \mathbb {E} \left[X^{2}\right]=-\,\phi _{X}^{\prime \prime }(0)}$

${\displaystyle {\textrm {Var}}(X)=-\,\phi _{X}^{\prime \prime }(0)+\phi _{X}^{\prime 2}(0)}$.

• مثلا العلاقة التالية تستعمل في حساب الدالة المميزة لمتغير عشوائي ذو توزيع احتمالي طبيعي موسط ومخزل :

${\displaystyle \phi _{aX+b}(t)=\phi _{X}(at)\,e^{itb}}$

بعض الدوال المميزة المشهورة

التوزيع الاحتمالي	الدالة المميزة φ(t)
توزيع احتمالي ثنائي B(n, p)	${\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}}$
توزيع بواسون Pois(λ)	${\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}}$
توزيع منتظم U(a, b)	${\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$
توزيع لابلاس L(μ, b)	${\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}$
توزيع احتمالي طبيعي N(μ, σ2)	${\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$
توزيع كاي مريع χ2k	${\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}}$
توزيع كوشي Cauchy(μ, θ)	${\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}}$
توزيع غاما Γ(k, θ)	${\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}}$
توزيع أسي Exp(λ)	${\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}}$
توزيع طبيعي متعدد الحدود N(μ, Σ)	${\displaystyle \,e^{it'\mu -{\frac {1}{2}}t'\Sigma t}}$

الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة لاورهيتينغر ( 1973 )