في الرياضيات ، الجذر التربيعي أو جذر مربع للعدد x هو العدد الحقيقي الموجب y الذي إذا ضُرِب في نفسه يُنتج العدد x. على سبيل المثال:
9
=
3
o
r
−
3
{\displaystyle {\sqrt {9}}=3or-3}
3
2
=
3
×
3
=
9
{\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}
.
معلومات سريعة دالة الجذر التربيعي, تدوين ...
إغلاق
التعبير الرياضياتي للجذر التربيعي للعدد "x".
الجذر التربيعي للعدد المربع الكامل 25 هو 5 أو 5 - ؛ لأن 5×5 = 5² = 25، ويقال: 5×5 هي عملية تربيع للعدد 5، أو يمكن القول 5- * 5-=25، ولا يوجد جذر تربيعي للأعداد السالبة ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية .[1]
أول من استعمل الرمز '√' للإشارة إلى الجذر التربيعي هو كريستوف رودولف وكان ذلك عام 1525.[2] أدخل ديكارت على هذا الرمز فيما بعد، تغييرا طفيفا يتمثل في الخط الأفقي الذي يغطي العدد أو الصيغة التي يطبق عليها الجذر التربيعي، صائرا
.
.
.
{\displaystyle {\sqrt {...}}}
بذلك بدلا من '√'.
x
2
=
|
x
|
=
{
x
,
if
x
≥
0
−
x
,
if
x
≤
0
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x\leq 0\end{cases}}}
من أجل أي عددين حقيقين موجبين x ، y يتحقق
x
y
=
x
y
{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}
و
x
=
x
1
2
.
{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}.}
يعطى مشتق تابع الجذر التربيعي بالعلاقة:
f
′
(
x
)
=
1
2
x
.
{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}
تعطى سلسلة تايلور للحد
1
+
x
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}}
حول
x
=
0
{\displaystyle x=0}
بالعلاقة:
1
+
x
=
1
+
1
2
x
−
1
8
x
2
+
1
16
x
3
−
5
128
x
4
+
…
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!}
الفرع الأول من الجذر التربيعي لعدد عقدي
الفرع الثاني من الجذر التربيعي لعدد عقدي
Using the
سطح ريمان of the square root, it is shown how the two leaves fit together
انظر إلى سطح ريمان
الجذر التربيعي لعدد تخيلي صِرف
الجذور التربيعية ل i في المستوى العقدي
يُعطى الجذر التربيعي ل i بما يلي:
i
=
1
2
2
+
i
1
2
2
=
2
2
(
1
+
i
)
.
{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
يُمكن الحصول على هاته النتيجة جبريا من خلال البحث عن العددين الحقيقين a و b حيث
i
=
(
a
+
b
i
)
2
{\displaystyle i=(a+bi)^{2}\,\!}
أي
i
=
a
2
+
2
a
b
i
−
b
2
.
{\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\,\!}
هذا يعطي المعادلتين المترابطتين التاليتين:
{
2
a
b
=
1
a
2
−
b
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\,\!\\a^{2}-b^{2}=0\,\!\end{cases}}}
انظر إلى صيغة دي موافر .
الجذر التربيعي الرئيسي لعدد عقدي
صيغة جبرية
x
+
i
y
=
x
2
+
y
2
+
x
2
±
i
x
2
+
y
2
−
x
2
,
{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}
الأرقام التي لها جذر تربيعي في مجموعة الأعداد الصحيحة بالتسلسل:
1=1 أول رقم له جذر تربيعي
1 + 3 = 4 ثاني رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 = 9 ثالث رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 = 16 رابع رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 خامس رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 سادس رقم له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 سابع عدد له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ 15 = 64 ثامن عدد له جذر تربيعي
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13+ 15 + 17 = 81 تاسع عدد له جذر تربيعي
وهكذا بالتسلسل
حلزونية ثيودوريس إلى حدود مثلث قائم زاوية وتره يساوي √4 (1 = √1 )
Manguel، Alberto (2006). "Done on paper: the dual nature of numbers and the page". The Life of Numbers . ISBN :84-86882-14-1 .