Pascalsches Dreieck

S pascalsche Dreiegg isch e geometrischi Darstellig vo de Binomialkoeffiziente ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$. Si wärde im Dreiegg eso aagordnet, ass jede Iidrag d Summe vo de beide Iidreg wo drüberstöhn, isch. Das wird dur d Gliichig

${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}}$

S Pascalsche Dreieck: Jede Iidrag isch d Summe vo de beide Iidreg, wo drüberstöhn

beschriibe. Drbii chönne die Variable ${\displaystyle n}$ als Ziileindex und ${\displaystyle k}$ as Spaltenindex interpretiert wärde, wobii mä bi Null foot afo zelle (also die ersti Ziile isch ${\displaystyle n=0}$, die ersti Spalte ${\displaystyle k=0}$).

Wia benutzt ma des?

Nemma ma ${\displaystyle (a\pm b)^{2}}$

1. ma sucht sich die dritte Zeil beim paskalscha Dreieck raus.
2. der erste Koeffizient ischt da 1, also muss ma ${\displaystyle 1\cdot x^{2}\cdot y^{0}=x^{2}}$ ausrechna
3. der zweite Koeffizient isch 2, also ${\displaystyle \pm 2\cdot x^{1}\cdot y^{1}=\pm 2\cdot x\cdot y}$
4. der dritte Koeffizient isch wieder 1, also ${\displaystyle 1\cdot x^{0}\cdot y^{2}=y^{2}}$

das gibt:

${\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2\cdot a\cdot b+b^{2}.}$

Dieses Vorgehen funktioniert bei allen Gleichunga mit Hochzahla. In der vierta Zeil findet ma die Koeffizienta für ${\displaystyle (a\pm b)^{3}}$:

${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3\cdot a^{2}\cdot b^{1}+3\cdot a^{1}\cdot b^{2}\pm b^{3}.}$

Mä cha eso witermache, sött aber ufbasse, ass mä für s Binom ${\displaystyle (a-b)}$ immer s Minuszäiche us „${\displaystyle \pm }$“ muess nee und dass, wäärend dr Exponänt vo ${\displaystyle a}$ in jedere Formle immer um 1 chliiner wird, dr Exponänt vo ${\displaystyle b}$ um 1 gröösser wird.

Wenn mä s Pascalsche Dreiegg uf s Binom (a - b) mit irgend eme Exponänt aawändet, wäggsle sich d Vorzäiche – und + regelmäässig ab (es stoot immer denn e Minus, wenn dr Exponänt vo b ungrad isch). Das häisst z. B.

${\displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}-4\cdot a^{3}\cdot b^{1}+6\cdot a^{2}\cdot b^{2}-4\cdot a^{1}\cdot b^{3}+b^{4}.}$

Litratuur

• John H. Conway und Richard K. Guy: The Book of Numbers. ISBN 0-387-97993-X

Weblingg

 Commons: Pascal's triangle – Sammlig vo Multimediadateie

• Muster im Pascalschen Dreieck (änglisch)
• Das Pascalsche Dreieck