Kosinussatz

De Kosinussatz stellt i de Trigonometrii vo dr Ebeni e Beziehig zwüsched de Siite vomene Drüeck und em Kosinus vo eim vo de Winkel her. Für di drü Siite a, b und c vomene Drüeck sowie em Winkel gegenüber vo de unbekannte Siite gilted:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \gamma }$

Bezeichnungen im Dreieck

Folgerige

Us em Kosinussatz chammer unter anderem au de Satz vom Pythagoras forme, wenn de Winkel ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ isch, s Drüeck also rechtwinklig isch. De Kosinus vo 90° isch jo denn Null, und do drus chamer folgere: ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot 0\rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Bispiil

Di folgende Zahle sind grobi Nöherige. Geh seg es Drüeck ABC, wo alli drü Siite vorgeh sind.

${\displaystyle a=5\;{\rm {cm}}}$

${\displaystyle b=4\;{\rm {cm}}}$

${\displaystyle c=4{,}5\;{\rm {cm}}}$

Gsuecht isch de Winkel ${\displaystyle \beta }$ (Normali Bezeichnige).

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle 2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta =a^{2}+c^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle \cos \beta \,=\,{\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2\cdot a\cdot c}}={\frac {(5\,{\rm {cm}})^{2}+(4\,{\rm {cm}})^{2}-(4.5\,{\rm {cm}})^{2}}{2\cdot 5\,{\rm {cm}}\cdot 4.5\,{\rm {cm}}}}=0{,}46}$

${\displaystyle \beta =\arccos \,0{,}46={\underline {62{,}5^{\circ }}}}$